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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL Trennung d. Variable
DGL Trennung d. Variable < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL Trennung d. Variable: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Sa 26.01.2013
Autor: mike1988

Aufgabe
Lösen Sie die gegebene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen:

[mm] m*\ddot{y} [/mm] = [mm] -m*g-k*\dot{y^{2}} [/mm]

Hallo liebes Forum!

Würde bitte dringend eure Unterstützung bei o. g. Aufgabe benötigen!

Ich bin mal wie folgt vorgegangen:

[mm] \ddot{y}=\bruch{d\dot{y}}{dt}=\bruch{d\dot{y}}{dy}*\bruch{d{y}}{dt}=\bruch{d\dot{y}}{dy}*\dot{y} [/mm]

Eingesetzt ergibt dies:

[mm] m*\bruch{d\dot{y}}{dy}*\dot{y}+k*\dot{y}^{2} [/mm] = -m*g

Nun habe ich versucht, auf der linken Seite das [mm] \dot{y} [/mm] herauszuheben, was mir allerdings nicht gelingt, da es einmal in erster und einmal in zweiter Potenz vorhanden ist!

Kann mit diesbezüglich jemand einen Tipp zur Vorgehensweise geben??


Vielen lieben Dank!

Lg

        
Bezug
DGL Trennung d. Variable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:51 Sa 26.01.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

du kannst zunächst [mm] \dot{y}(x)=:z(x) [/mm] substituieren und diese DGL dann lösen, und dann wieder rücksubstituieren. Das ist vermutlich die beste und schnellste Variante.

Grüße

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DGL Trennung d. Variable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Sa 26.01.2013
Autor: mike1988

Hallo Richie!

Vielen Dank für deine rasche Antwort, nur leider verstehe ich dies nicht so ganz!

Wenn ich  $ [mm] \dot{y}(x)=:z(x) [/mm] $ substituiere dan erhalte ich ja:

$ [mm] m\cdot{}\bruch{d\dot{y}}{dy}\cdot{}z+k\cdot{}z^{2} [/mm] = [mm] -m\cdot{g} [/mm]  $

Hilft mir ja auch nicht sonderlich weiter!





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Bezug
DGL Trennung d. Variable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Sa 26.01.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

nein, gehe von deiner ursprünglichen DGL aus:

[mm] m\ddot{y}=-mg-k\dot{y}^2 [/mm]

Dann erhältst du:

[mm] m\dot{z}\equiv m\frac{dz}{dt}=-mg-kz^2 [/mm]

Dividieren der Gleichung durch m und eventuelle Setzen von [mm] \omega=\frac{k}{m} [/mm] lässt die DGL schon einmal freundliche ausschauen.

[mm] \dot{z}=-g-\omega z^2 [/mm]   (*)

Löse (*) nun durch Trennung der Variablen. Hast du dies gemacht, so stelle so um, dass du eine Gleichung der Form z(t)=... da stehen hast, um dann y(t) durch triviale Integration von z(t) zu erhalten.

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DGL Trennung d. Variable: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Sa 26.01.2013
Autor: mike1988

Danke für deine tolle und ausführliche Erklärung!

Ich habe nun die Gleichung [mm] \integral{dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{dz}{-g-w \cdot{z^{2}}}} [/mm]

Wenn ich diese Gleichung nun beidseitig integriere erhalte ich:

t = [mm] \bruch{-arctan(\bruch{z \cdot{} \wurzel{w}}{\wurzel{g}})}{\wurzel{g} \cdot{} \wurzel{w}} [/mm]

Dies auf z umgeformt ergibt:

z = [mm] \bruch{\wurzel{g}}{\wurzel{w}} \cdot{} tan(t\cdot{}\wurzel{g}\cdot{}\wurzel{w}) [/mm]

Da wir ja oben [mm] \dot{y}=z [/mm] substituiert haben, folgt:

[mm] \bruch{dy}{dt}= \bruch{\wurzel{g}}{\wurzel{w}} \cdot{} tan(t\cdot{}\wurzel{g}\cdot{}\wurzel{w}) [/mm]


dy= [mm] \bruch{\wurzel{g}}{\wurzel{w}} \cdot{} tan(t\cdot{}\wurzel{g}\cdot{}\wurzel{w})\cdot{} [/mm] dt

und somit:

[mm] y_{t}=\bruch{\wurzel{g}\cdot{}\wurzel{w}}{(cos(t\cdot{}\wurzel{g}\cdot{}\wurzel{w})^{2}} [/mm]

Ist dies korrekt oder habe ich nochmals etwas falsch verstanden??

DANKE! Lg

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Bezug
DGL Trennung d. Variable: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Sa 26.01.2013
Autor: Richie1401

Hi,

soweit wirklich alles gut gemacht. Sieht natürlich shcon ein bisschen hässlich aus, mit den [mm] \sqrt{k}/\sqrt{m}. [/mm] Also schöner ist es [mm] \sqrt{k/m}. [/mm] Aber ok.

So, und dann ist [mm] \int\tan{x}dx=-\ln{\cos{x}}+c. [/mm]

Du kannst das Integral auch notfalls einfach in Wolfram-Alpha/Mathematica reinhacken. Da hast du dann eine schnelle Kontrolle.

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