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DGL ohne x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Do 19.01.2017
Autor: Trikolon

Aufgabe
Löse die DGL
[mm] y'=1-y^2 [/mm]

Hallo,

ich verzweifle an obiger DGL. Habe bisher immer nur lineare DGL lösen müssen. Mehr hatten wir bisher auch noch nicht gemacht. Aber mit diesem [mm] y^2 [/mm] habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll...

        
Bezug
DGL ohne x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Do 19.01.2017
Autor: kai1992

Probiere es mal mit Trennung der Variablen und dann einer Partialbruchzerlegung von 1/(1-y²). Wenn du dann nicht weiter kommst, helfe ich gern ;)

Bezug
        
Bezug
DGL ohne x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Do 19.01.2017
Autor: DieAcht

Hallo Trikolon!


Trennung der Variablen:

      [mm] $y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-y^2\quad\rightsquigarrow\quad \int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}=\int\mathrm{d}x$. [/mm]

Der Tangens Hyperbolicus lässt grüßen... ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
DGL ohne x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Fr 20.01.2017
Autor: Trikolon

Ach ja, stimmt! Danke für die schnelle Antwort!

Bezug
        
Bezug
DGL ohne x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Fr 20.01.2017
Autor: fred97


> Löse die DGL
>  [mm]y'=1-y^2[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich verzweifle an obiger DGL. Habe bisher immer nur lineare
> DGL lösen müssen. Mehr hatten wir bisher auch noch nicht
> gemacht. Aber mit diesem [mm]y^2[/mm] habe ich keine Ahnung wie ich
> vorgehen soll...

Wenn man, wie von der Acht vorgeschlagen, die obig DGL so löst:



      $ [mm] y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-y^2\quad\rightsquigarrow\quad \int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}=\int\mathrm{d}x [/mm] $,

so führt dies auf $y(x)= [mm] \tanh(x+c)$ [/mm] mit $c [mm] \in \IR$. [/mm]

Das sind aber nicht alle Lösungen dieser DGL ! Welche fehlen ?

Bingo: $y(x)=1$ und $y(x)=-1$.

Warum haben wir diese Lösungen beim Verfahren "Trennung der Variablen" nicht erwischt ?

Darum: wir haben durch [mm] $1-y^2$ [/mm] geteilt. Diese Term ist =0  für $y= [mm] \pm [/mm] 1$




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