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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 21.06.2016 | | Autor: | Tabs2000 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Darstellungsmatrix M (D) des Differenzialoperators.
gegeben:
Orthonormalbasis {q1,q2,q3}:
q1 = [mm] \wurzel{\bruch{12}{\pi^{3}}} [/mm] * x
q2 = [mm] \wurzel{\bruch{2}{\pi}} [/mm] * cos(x)
q3 = [mm] \wurzel{\bruch{\pi}{\pi^{2}-8}} [/mm] * (1 - [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] * cos(x) )
des durch die Funktionen f1,f2,f3 aufgespannten Vektorraums V:
f1 = x
f2=cos(x)
f3=1
auf dem Intervall [- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] mit dem Skalarprodukt
<g|h> = [mm] \integral_{- \bruch{\pi}{2}}^{ \bruch{\pi}{2}}{g(x) * h(x) dx}. [/mm] |
Hallo :)
Der Differenzialoperator ist ja gegeben als D = d/dx, aber ich verstehe einfach nicht, wie man auf die Darstellungsmatrix kommen soll. Ich verstehe, dass man sich immer noch innerhalb des von den Funktionen aufgespannten Vektorraums V befinden muss, da kein Basiswechsel vorgenommen wird. Ich habe versucht, die Funktionen f1,f2,f3 abzuleiten und die Ableitungen durch f1,f2,f3 darzustellen und die Koeffizienten als Werte für die Darstellungsmatrix zu nutzen, aber das funktioniert hier leider nicht:
z.B. : f1= x -> f1' = 1 -> = 0 * f1 + 0* f2 + 1 * f3
aber dann: f2 = cos(x) -> f2' = -sin(x) -> ???
Dann sollten die Koeffizienten z.B. 0,0,1 spaltenweise in die Matrix einfließen.
Das scheint so nicht ganz zu funktionieren... Hatte auch daran gedacht, ob ich hier vielleicht mit der Exponentialdarstellung von sin(x) und cos(x) weiterkommen würde, aber sieht nicht so aus...
In der Lösung wurde so vorgegangen: Es wurden Skalarprodukte gebildet also z.B:
<q1|D|q1> = 0 (stellt Matrixelement a11 dar), q1 ist die erste Basis, 0 aus Symmetriegründen
<q1|D|q2> = [mm] \wurzel{\bruch{12}{\pi^{3}}} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{2}{\pi}} \integral_{- \bruch{\pi}{2}}^{ \bruch{\pi}{2}}{ x * sin(x) dx} [/mm] = 2
-> 2* [mm] \wurzel{\bruch{12}{\pi^{3}}} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{2}{\pi}}
[/mm]
etc.
sodass sich am Ende die Matrix ergibt:
[mm] \pmat{ 0 & -\bruch{4}{\pi^{2}} * \wurzel{3} & -\bruch{16}{\pi^{2}} * \wurzel{\bruch{3}{\pi^{2} - 8}} \\ \bruch{4}{\pi^{2}} & 0 & 0 \\ \wurzel{\bruch{3}{\pi^{2} - 8}} * (2-\bruch{16}{\pi^{2}}) & 0 & 0} [/mm] = M(D)
Wieso kommt man so auf die Matrix und wieso integriere ich die Basen und nicht die Funktionen f1,f2,f3, weil ich doch in der Basis bleiben müsste? Ich verstehe das System nicht so wirklich... Vielleicht kann mir jemand erkären, warum man das genauso machen muss ...
LG und danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Mi 22.06.2016 | | Autor: | hippias |
Deine Vorgehensweise ist richtig und ich teile Deine Bedenken gegen die Lösung. Da $V$ nicht unter $D$ abgeschlossen ist, ergibt die Aufgabenstellung keinen rechten Sinn. Besser wäre es so: Sei [mm] $D:V\to [/mm] W$ der Differentialoperator und $B$ ein Basistupel von $W$. Finde eine Matrixdarstellung von $D$ bezüglich der Basistupel [mm] $(q_{1},q_{2},q_{3})$ [/mm] von $V$ und $B$ von $W$.
Grundsätzlich ist gegen die vorgeschlagene Lösung aber nichts zu sagen. Geht man nämlich von Deinem Ansatz aus und bildet etwa [mm] $Dq_{1}= aq_{1}+bq_{2}+cq_{3}$, [/mm] um die erste Zeile der Matrix zu finden, dann lassen sich die Koeffizienten unter Berücksichtigung der Orthonormalität der Vektoren [mm] $q_{i}$ [/mm] mit dem Skalarprodukt recht leicht berechnen:
[mm] $= a+ b+ c= a\cdot [/mm] 1+ [mm] b\cdot [/mm] 0+ [mm] c\cdot [/mm] 0= a$. Ebenso [mm] $= [/mm] b$ und [mm] $=c$.
[/mm]
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