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Forum "Lineare Abbildungen" - Darstellungsmatrix bestimmen
Darstellungsmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Darstellungsmatrix bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Mo 21.03.2016
Autor: King-LA-Gold

Aufgabe
Gegeben sei die lineare Abbildung [mm] \phi: P_3 \to \IR^3 [/mm] mit f [mm] \mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)}. [/mm]
Eine Basis von [mm] P_3 [/mm] sei A = [mm] \{1,x,x^2,x^3\}. [/mm] Eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] sei B = [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1}\}. [/mm]
Bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M^A_B (\phi) [/mm]

Hallo Leute,
bisher hatte ich eigentlich keine Problem was Dastellungsmatrizen angeht, aber hier steh ich völlig aufm Schlauch. Im Grunde muss ich ja "nur" A in f einsetzen, aber wie...?

        
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Mo 21.03.2016
Autor: fred97


> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\phi: P_3 \to \IR^3[/mm] mit f
> [mm]\mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)}.[/mm]
>  Eine Basis
> von [mm]P_3[/mm] sei A = [mm]\{1,x,x^2,x^3\}.[/mm] Eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] sei B
> = [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1}\}.[/mm]
>  
> Bestimme die Darstellungsmatrix [mm]M^A_B (\phi)[/mm]
>  Hallo Leute,
> bisher hatte ich eigentlich keine Problem was
> Dastellungsmatrizen angeht, aber hier steh ich völlig aufm
> Schlauch. Im Grunde muss ich ja "nur" A in f einsetzen,

Unsinn !!!

Für j=0,1,2,3 sei [mm] p_j(x):=x^j [/mm]

Dann ist [mm] A=\{p_0,p_1,p_2,p_3\} [/mm] . Weiter bezeichne ich die Elemente von B mit [mm] b_1,b_2,b_3. [/mm]

Zu [mm] p_j [/mm] gibt es eindeutig bestimmte Zahlen [mm] a_{1j}, a_{2j}, a_{3j} [/mm] mit:

  [mm] \phi(p_j) =a_{1j}b_1+a_{2j}b_2+a_{3j}b_3 [/mm]

Die j_te Spalte von $ [mm] M^A_B (\phi) [/mm] $ ist dann

[mm] a_{1j} [/mm]
[mm] a_{2j} [/mm]
[mm] a_{3j} [/mm]


FRED

> aber wie...?


Bezug
                
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Mo 21.03.2016
Autor: King-LA-Gold

Ich hab mich glaub ich nicht richtig ausgedrückt.
Mein Problem ist: " f [mm] \mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)} [/mm] "
Bisher waren immer Funktionen wie z.B. f: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \mapsto \vektor{x_2 \\ x_1 \\5*x_3} [/mm] gegeben, wo immer nur entsprechend einsetzten musste, was hier aber nicht geht, oder?

Bezug
                        
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mo 21.03.2016
Autor: fred97


> Ich hab mich glaub ich nicht richtig ausgedrückt.
> Mein Problem ist: " f [mm]\mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)}[/mm]
> "
>  Bisher waren immer Funktionen wie z.B. f: [mm]\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \mapsto \vektor{x_2 \\ x_1 \\5*x_3}[/mm]
> gegeben, wo immer nur entsprechend einsetzten musste, was
> hier aber nicht geht, oder?


Die Abbildung ist [mm] \phi [/mm] ! Was macht [mm] \phi [/mm] ? Das:

[mm] \phi [/mm] ordnet einem Polynom $f [mm] \in P_3$ [/mm] den Vektor $ [mm] \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)} [/mm] $ zu, also

  $ [mm] \phi(f):= \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)} [/mm] $

Ist es jetzt klarer ?

FRED

Bezug
                                
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mo 21.03.2016
Autor: King-LA-Gold

Stimmt dann:
[mm] \phi(1) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 0\\ 1}, \phi(x) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 1\\ 3}, \phi(x^2) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 2\\ 8}, \phi(x^3) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 3\\ 20} [/mm]

und [mm] M^A_B (\phi) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 & 8 & 20 } [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Mo 21.03.2016
Autor: fred97


> Stimmt dann:
>  [mm]\phi(1)[/mm] = [mm]\vektor{ 0\\ 0\\ 1}, \phi(x)[/mm] = [mm]\vektor{ 0\\ 1\\ 3}, \phi(x^2)[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0\\ 2\\ 8}, \phi(x^3)[/mm] = [mm]\vektor{ 0\\ 3\\ 20}[/mm]
>  
> und [mm]M^A_B (\phi)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 & 8 & 20 }[/mm]
> ?


Ja

FRED

Bezug
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