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Forum "Funktionalanalysis" - Definition Operatornorm
Definition Operatornorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Definition Operatornorm: Operatornormdefinition mit min
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 So 11.01.2015
Autor: havoc1

Aufgabe
Frage:
Wieso wird die Operatornorm üblicherweise folgendermaßen definiert:
(f sind dabei Operatoren zwischen normieren Räumen, ||.|| sei dabei die zum entsprechenden Raum gehörende Norm)
inf [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c*||x|| \} [/mm] = ||f||
wäre nicht auch
min [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c*||x|| \} [/mm] = ||f||
genauso korrekt, vorrausgesetzt man vereinbart
min [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c*||x|| \} [/mm] = [mm] \infty [/mm]
Falls die Ungleichung nur für [mm] c=\infty [/mm] erfüllt ist?

Hallo,

zur Frage siehe oben.
Begründung: Das Minimum sollte doch in jedem Fall angenommen werden.
Falls das Minimum zur Menge gehört, wird es angenommen und alles ist gut.
Wäre es nicht so, würde nur ein Infimum existieren. Da dieses dann aber nicht zur Menge gehört, gilt für dieses Infimum dann nicht mehr
||f||*||x|| [mm] \ge [/mm] ||f(x)||

        
Bezug
Definition Operatornorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:26 Mo 12.01.2015
Autor: fred97

Ich nehme an, es sind V und W normierte Räume und f:V [mm] \to [/mm] W linear


Sei

  $M:= [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c\cdot{}||x|| \} [/mm] $

f heißt beschränkt [mm] \gdw [/mm] M ist nach unten beschränkt. In diesem Fall setzt man

   $||f||:= [mm] \inf [/mm] M$


Ist f beschränkt, so muss [mm] $\min [/mm] M$ i.a. nicht existieren.

Edit: das war Unsinn von mir. natürlich ex.  [mm] $\min [/mm] M$



Bastle Dir mal ein geeignetes Beispiel.

FRED

Bezug
                
Bezug
Definition Operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:45 Mo 12.01.2015
Autor: havoc1

Bist du dir ganz sicher, dass dies so ist? Denn die Menge aus der das Infimum gewählt wird ist abgeschlossen und nach unten beschränkt. Ich meinte, dass das Infimum dann immer zur Menge gehört.
Ich werd jetzt mal versuchen ein Gegenbeispiel zu finden.

Bezug
                        
Bezug
Definition Operatornorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> Bist du dir ganz sicher, dass dies so ist? Denn die Menge
> aus der das Infimum gewählt wird ist abgeschlossen und
> nach unten beschränkt. Ich meinte, dass das Infimum dann
> immer zur Menge gehört.

Du hast recht. Oben habe ich mich vertan.


>  Ich werd jetzt mal versuchen ein Gegenbeispiel zu finden.  

Das wir Dir nicht gelingen !

FRED


Bezug
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