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Forum "stochastische Prozesse" - Definition vom Wiener Prozess
Definition vom Wiener Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Definition vom Wiener Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Do 04.09.2014
Autor: Samyy

Hallo,

ich arbeite mich gerade in das Themengebiet der Stochastischen Prozesse ein. Dazu habe ich konkret eine Frage zur Definition vom Wiener Prozess, siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess

In manchen Buechern (wie auch bei Wikipedia oben) werden die definierenden Eigenschaften nur P-fast sicher gefordert. In anderen wiederum macht man diese Einschraenkung nicht.

Zum Beispiel:
Sei [mm] $(\Omega, [/mm] A, P)$ ein W-Raum und [mm] $(B_t)_{t\in [0.\infty)}$ [/mm] ein Wiener Prozess. Dann fordert man manchmal [mm] $B_t [/mm] =0$ P-fast sicher.

Manchmal aber auch [mm] $B_t(w)=0$ $\forall \omega\in \Omega$. [/mm]

Meine Fragen dazu lauten:
Hat das irgendeinen Grund? Aendert sich dadurch eventuell sogar die Theorie bzw. die Beweise und Ergebnisse?

Ich wuerde mich sehr ueber Hilfe freuen.

Viele Gruesse


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Definition vom Wiener Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Fr 05.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Fragen dazu lauten:
>  Hat das irgendeinen Grund? Aendert sich dadurch eventuell sogar die Theorie bzw. die Beweise und Ergebnisse?

nein.
Hast du eine Aussage, die P-fast sicher gilt, so gilt sie ja bis auf maximal eine Nullmenge N.

Betrachte deinen Prozess nun auf [mm] $\overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] A$ und es gilt für alle [mm] \omega\in \overline{\Omega} [/mm]

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Definition vom Wiener Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Fr 05.09.2014
Autor: Samyy

Hallo,

vielen Dank fuer deine Antwort! Das hat mir schonmal weitergeholfen.
Noch zwei kleine Nachfragen, um auf Nummer sicher zu gehen:

1)
Was genau meinst du mit $ [mm] \overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] A $ ?

Soll A die Nullmenge sein, auf welcher die besagte Eigenschaft nicht gilt? Falls ja, dann nimmt man vermutlich als Sigma-Algebra die Spur-sigma-Algebra auf $ [mm] \overline{\Omega} [/mm] = [mm] \Omega\setminus [/mm] A $. Ist meine Vermutung hier richtig?

2)
Wenn man nun mehrere solcher Eigenschaften hat, die nur P-fast sicher gelten, dann geht man vermutlich Analog vor. Man muss dann vermutlich  fuer A die Vereinigung all der Nullmengen nehmen, fuer welche die jeweilige Eigenschaft nicht gilt. Die Vereinigung abzaehlbar vieler Nullmengen ist ja bekanntlich wieder eine Nullmenge.  Korrekt?

Vielen Dank nochmals fuer deine hilfreiche Antwort!

Bezug
                        
Bezug
Definition vom Wiener Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Fr 05.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Soll A die Nullmenge sein, auf welcher die besagte Eigenschaft nicht gilt?

Ja.

> Falls ja, dann nimmt man vermutlich als Sigma-Algebra die Spur-sigma-Algebra auf [mm]\overline{\Omega} = \Omega\setminus A [/mm]. Ist meine Vermutung hier richtig?

Ja, formal müsste man das so machen.

> Man muss dann vermutlich  fuer A die Vereinigung all der Nullmengen nehmen, fuer welche die jeweilige Eigenschaft nicht gilt. Die Vereinigung abzaehlbar vieler Nullmengen ist ja bekanntlich wieder eine Nullmenge.  Korrekt?

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Definition vom Wiener Prozess: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 Fr 05.09.2014
Autor: Samyy

Danke!!!

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