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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Do 21.09.2006 | | Autor: | derben |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr Hilfreichen,
ich habe da mal eine für euch vieleicht simple Frage. Aber ich komme grad mit Mathematica überhaupt nicht zurecht.
Zu meinem Problem: Ich habe mir die Verteilungsfunktion der Normalverteilung als Funktion y[x_] := [mm] 1/(\sigma\wurzel{2\pi})*\integral_{\infty}^{x}{e^{-1/2((t-\mu)/\sigma)^{2}} dt} [/mm] definiert. Wenn ich diese ableite macht Mathematica eine Fallunterscheidung bezüglich des Vorzeichens des Realteils der Varianz [mm] \sigma [/mm] zum quadrat [mm] (Re[\sigma^{2}]>0). [/mm]
(Lösung mit einer IF-Gleichung)
[mm] If[Re[\sigma^2]>0, \wurzel{\pi/4}*2/(e^{((x-\mu)/\wurzel{2}\sigma)^{2}}*\wurzel{\pi}), e^{-((t-\mu)^{2}/2\sigma^{2})}]/(\wurzel{2\pi}\sigma)
[/mm]
Mir ist klar, dass diese Fallunterscheidung im allgemeinen Fall richtig ist.
Meine Frage ist nun: Wie kann ich mir zuvor [mm] \sigma>0 [/mm] definieren, dass Mathematica die Berechnung eben nur für positive Werte anstellt?
Ich habe schon ein bißchen mit "Assumptions rumgespielt. Aber dabei ist nichts wirklich gutes bei rumgekommen.
Würde mich über eine kurze Rückmeldung wirklich sehr freuen.
Liebe Grüße
derben
P.S.: Vieleicht ist es überschaubarer, wenn man als Beispiel [mm] Solve[x^{2}^=4,x] [/mm] nimmt. Wie bekommt man es in diesem Fall hin, das als Lösung nur der Wert 2 geliefert wird?
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Hallo derben,
deine eigentliche Frage kann ich auf Anhieb nicht beantworten, vielleicht etwas später. Aber für dein PS habe ich eine Lösung: Wenn du [mm] Reduce[x^2 [/mm] == 4 && x ≥ 0, x] eingibst, ergibt das die richtige Lösung. Ich weiß aber nicht, ob dir das für dein eigentliches Problem weiterhilft...
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Fr 22.09.2006 | | Autor: | derben |
Hallo banachella,
Ich denke auch, dass mir der Ansatz für mein eigentliches Problem nicht weiterhilft. Reduce ist nur eine Funktion die man auf Gleichungen anwenden kann, oder? Was ich im Prinzip suche wäre eine Definition, die ich am Anfang eines Notebooks vornehme, damit ich mir u.a. wärend weiterer (evtl. umfangreicher) Berechnungen keine Gedanken mehr über die Vorzeichen bestimmter Variablen machen muss (bzw über deren "Nicht"-Komplexität o.ä.).
Danke jedenfalls schonmal für die schnelle Rückmeldung. Wofür stehen in deinem Ausdruck denn eigentlich die beiden &&?
Grüße derben
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Hallo,
Du schreibst, dass mit Assumptions "nichts wirklich gutes" herauskommt. Das kann ich mit Version 5.1 nicht nachvollziehen (und es würde mich wundern, wenn es bei 5.2 anders wäre).
Falls ich Annahmen häufiger brauche, definiere ich mir eine Variable:
| 1: | In[1]:=
| | 2: | assum = σ > 0 && {t, μ, x} ∈ Reals;
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Ich habe einfach nur die Annahmen zum "Integrate" hinzugefügt:
| 1: | In[2]:=
| | 2: | yalt[x_] := Integrate[Exp[(-(1/2))*((t - μ)/σ)^2], {t, -Infinity, x}, Assumptions -> assum]/
| | 3: | (σ*Sqrt[2*Pi])
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Wegen der Geduld des Users empfiehlt es sich in solchen Fällen, das Integral vor der Funktionsdefinition auszuwerten. Außerdem benutze ich eine andere Form, Mathematica wissen zu lassen, welchen Wertebereich Variablen annehmen dürfen (aber nur um zu zeigen, dass es sie gibt):
| 1: | In[3]:=
| | 2: | Timing[y[x_] := Evaluate[Assuming[assum, (1/(σ*Sqrt[2*Pi]))*
| | 3: | Integrate[E^((-(1/2))*((t - μ)/σ)^2), {t, -Infinity, x}]]]]
| | 4: | Out[3]=
| | 5: | {1.75*Second, Null}
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Die Definition dauert also einmalig 1.75 Sekunden, wohingegen man bei jedem Funktionsaufruf von yalt mit ca. 3.75 Sekunden rechnen muss:
| 1: | In[4]:=
| | 2: | Timing[yalt[3]]
| | 3: |
| | 4: | Out[4]=
| | 5: | {3.7500000000000004*Second, (Abs[-3 + μ] - (-3 + μ)*Erf[Abs[-3 + μ]/(Sqrt[2]*σ)])/
| | 6: | (2*Abs[-3 + μ])}
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...sieht besser aus, wenn man FullSimplify darauf anwendet:
| 1: | In[5]:=
| | 2: | FullSimplify[Last[%], assum]
| | 3: |
| | 4: | Out[5]=
| | 5: | (1/2)*Erfc[(-3 + μ)/(Sqrt[2]*σ)]
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Nur um sicher zu sein, dass irgenwelche Zwischenergebnisse aus Mathematicas "Gedächtnis" verschwinden:
| 1: | In[6]:=
| | 2: | << "Developer'"
| | 3: | ClearCache[];
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Und die bereits ausgewerteten Integrale liegen außerhalb der Auflösung des Timers:
| 1: | In[8]:=
| | 2: | Timing[y[3]]
| | 3: |
| | 4: | Out[8]=
| | 5: | {0.*Second, (1/2)*(1 + Erf[(3 - μ)/(Sqrt[2]*σ)])}
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Ich hoffe, Dir ein wenig geholfen zu haben,
Peter
P.S.: Ich habe eben erst bemerkt, dass Sonderzeichen durch Entities ersetzt wurden [mm] (\[Sigma] [/mm] durch σ zum Bleistift), weil ich nur auf die Zeilentrennung geachtet habe. Ich habe keinen Nerv, das alles nochmal zu machen, deshalb hänge ich Dir das ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Notebook einfach dran.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: nb) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 03.10.2006 | | Autor: | derben |
Hallo Peter,
Danke für Deine Antwort. Was ich mit "nichts wirklich gutes" meinte war im Prinzip "zu aufwändig". Ich suchte eher nach einer Möglichkeit Annahmen über eine Funktion einmalig treffen zu können.
Ich meine etwas was mit mit folgendem Vergleichbar wäre.
Angenommen ich habe mehrere Funktionen definiert in denen x vorkommt. Wenn ich ja nun einmalig für x einen Wert (z.B.x=5) vorgebe, so wird ja im folgenden bei allen Funktionen das x durch 5 ersetzt ohne, dass ich das für jede Funktion einzeln angeben muss.
Was ich halt such wäre eine entsprechende einmalige Annahme, dass [mm] \sigma>0 [/mm] ist. Dann bräuchte ich das nicht bei jeder Funktion, bei der [mm] \sigma [/mm] vorkommtals Assumtion dranhängen. (Bei mathematischen Beweisen sagt man ja auch nur einmal welche Annahmen gelten ("Sei [mm] \sigma>0...")
[/mm]
Ich muss zugeben, dass ich nach dieser Möglichkeit hauptsächlich aus Bequemlichkeit suche. Allerdings würden einige Rechnungen dadurch ja auch übersichtlicher, und meine Ergebnisse hoffentlich richtiger 
Vielen Dank nochmal. Falls Dir noch was dazu einfallen sollte...
Liebe Grüße derben
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Hallo,
eigentlich hättest Du bei Deiner ausgedehnten Lektüre der mitgelieferten Hilfe längst auf die Systemvariable $Assumptions stoßen müssen. Einmal gesetzt, werden die in ihr gespeicherten Annahmen überall dort verwendet, wo auch die Option Assumptions->tralala oder Annahmen als zweites Argument (Simplify[expr, assum]) möglich sind.
Beispiele:
| 1: | $Assumptions = {a > 0};
| | 2: | (Refine[Sqrt[#1^2]] & ) /@ {a, b}
| | 3: | --> {a, Sqrt[b^2]}
| | 4: |
| | 5: | (Integrate[E^((-#1)*t), {t, 0, Infinity}] & ) /@ {a, b}
| | 6: | --> {1/a, If[Re[b] > 0, 1/b, Integrate[E^((-b)*t), {t, 0, Infinity}, Assumptions -> Re[b] <= 0]]}
| | 7: |
| | 8: | (Refine[Arg[#1]^2 != Pi^2] & ) /@ {a, b}
| | 9: | --> {True, Arg[b]^2 != Pi^2}
| | 10: |
| | 11: | Reduce[%, b, Reals]
| | 12: | --> b > 0 |
Die Annahmen in $Assumptions können durch Assuming vorübergehend erweitert werden:
| 1: | Assuming[a <= 1,
| | 2: | Refine[a - 21*a^2 +
| | 3: | 168*a^3 - 660*a^4 +
| | 4: | 1408*a^5 - 1664*a^6 +
| | 5: | 1024*a^7 - 256*a^8 >= 0]]
| | 6: | --> True |
Und nicht vergessen: mit F1 gibt's recht ausführliche Hilfe...
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Di 03.10.2006 | | Autor: | derben |
Hallo Peter,
Du hast Recht, ich bin wirklich während meiner Hilfe-Lektüre auf $Assumtions gestossen. Allerdings habe ich da wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Das Brett vorm Kopf hat sich aber gerade gelöst.
Vielen Dank
Grüße derben
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