Det einer Matrix (Widerspruch) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Meine Aufgabe ist es einen Körper K zu finden, n ∈ N und Matrizen A,B,C,D ∈ Kn,n mit
det ( [mm] \pmat{ A & B \\ C & D }) [/mm] ≠ det(A)det(D) − det(B)det(C). |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Det-einer-2x2-Matrix
Ich weiß leider wirklich nicht wie ich das machen soll, da es die einzige Formel ist, die ich kenne zur Berechnung der det.
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> Meine Aufgabe ist es einen Körper K zu finden, n ∈ N und
> Matrizen A,B,C,D ∈ Kn,n mit
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> det ( [mm]\pmat{ A & B \\ C & D })[/mm] ≠ det(A)det(D) −
> det(B)det(C).
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Det-einer-2x2-Matrix
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> Ich weiß leider wirklich nicht wie ich das machen soll, da
> es die einzige Formel ist, die ich kenne zur Berechnung der
> det.
Hallo,
schreib dir irgendeine "zufällige" reelle 4x4-Matrix bestehend aus den 2x2-Blöcken A,B,C und D hin und rechne
det ( [mm]\pmat{ A & B \\ C & D })[/mm] sowie det(A)det(D) − det(B)det(C) aus.
Mit ein bisschen Probieren findets du leicht ein Beispiel, wo dann verschiedene Ergebnisse rauskommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Di 27.12.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo kottisakin und Herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich möchte deinen letzten Satz
> Ich weiß leider wirklich nicht wie ich das machen soll, da es die einzige Formel ist, die ich kenne zur Berechnung der det.
aufgreifen.
Du hast Recht, falls es sich bei A,B,C,D um Elemente einer 1x1 Matrix handelt (also im Prinzip um reine Zahlen), so gilt für die Determinante der 2x2 Matrix det ( [mm] \pmat{ A & B \\ C & D }) [/mm] = det(A)det(D) − det(B)det(C).
Es gilt erst einmal det ( [mm] \pmat{ A & B \\ C & D }) [/mm] = AD - BC, aber da bei einer 1x1 Matrix gilt det(A) = A, det(B) = B usw., folgt det(A)det(D) − det(B)det(C)
Betrachten wir z.B. die Matrix M= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }, [/mm] so lautet die Determinante der Matrix det(M) = 1*4 - 2*3 = -2. Dies ist gleichbedeutend mit det(1) * det(4) - det(2) * det(3)
Jedoch muss det ( [mm] \pmat{ A & B \\ C & D }) [/mm] = det(A)det(D) − det(B)det(C) nicht gelten, wenn es sich bei A,B,C,D jeweils um eine 2x2 Matrix oder größer handelt. Dabei ist zu beachten, dass wegen A,B,C,D ∈ [mm] K^{n,n} [/mm] die Blöcke A,B,C,D alle über dieselbe Anzahl von Zeilen und Spalten verfügen (und somit quadratisch sind) und somit sichergestellt ist, dass die gesamte Matrix, die aus den Blöcken A,B,C,D besteht, selbst wieder quadratisch ist.
Um das zu sehen, folge dem Rat von donquijote und betrachte eine Blockmatrix [mm] \in \IR^{4,4}, [/mm] die in 4 Blöcke A,B,C,D mit A,B,C,D [mm] \in \IR^{2,2} [/mm] zerlegt wird.
Um ein Beispiel zum Verständnis der Aufgabe zu nennen: Wählen wir M:= [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] mit A:= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] B:= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }, [/mm] C:= [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und D:= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Dann hat die Matrix M die Gestalt M:= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}. [/mm] Hier ist det(M) = 1 und det(A) = 1, det(B) = 0, det(C) = 0 und det(D) = 1. Somit ist det(A)det(D) − det(B)det(C) = 1*1 - 0*0 = 1.
In diesem Fall wäre also det(M) = [mm] det(\pmat{ A & B \\ C & D }) [/mm] det(A)det(D) − det(B)det(C).
Dies gilt jedoch nicht allgemein, und genau solch ein Gegenbeispiel sollst du finden!
Wenn du nichts findest, so schreibe nochmal, dann schauen wir nochmal 
Viele Grüße,
X3nion
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