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Forum "Determinanten" - Determinante bestimmen
Determinante bestimmen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Determinante bestimmen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:19 Sa 09.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Bestimmen Sie

det [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & ... & n\\ 2 & 2 & 3 & ... & n \\ 3 & 3 & 3 & ... & n \\ . \\ . \\ .\\ n & n & n & ... & n} [/mm]

Meine Idee ist es die Matrix durch elementare Zeilenumformungen (Weiß noch nicht wie und hoffe auf ein Tipp) in Zeilenstufenform zu bringen, sodass nur die Diagonale vorhanden bleibt. So ungefähr meine ich das:

det [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\ . \\ . \\ .\\ 0 & 0 & 0 & ... & n} [/mm]

Anschließend die Elemente der Diagonale herausholen, sodass eine Einheitsmatrix übrig bleibt, dessen Determinante 1 ist. Die Diagonaleinträge müssten dann meine Determinante ergeben.

det [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ . \\ . \\ .\\ 0 & 0 & 0 & ... & 1} [/mm]

=> det(A)=1*2*3*...*n oder so ähnlich.

Komme bei den el. Zeilenumformungen nicht weiter. Kann mir das einer erklären oder bin ich auf dem falschen Weg?


Könnte hier als Lösung $ [mm] (-1)^{n-1}\cdot{}n [/mm] $ rauskommen?


Vielen Dank im Voraus!

LG DerPinguinagent

        
Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Sa 09.01.2016
Autor: hippias

Du beschreibst die Methode völlig richtig. Wo ist Dein Problem?

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Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Sa 09.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Also ich weiß nicht wie ich das vernünftig aufschreiben soll. Kannst du mir das erklären oder vielleicht den Anfang aufschreiben, damit ich einen roten Faden habe?

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Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Sa 09.01.2016
Autor: hippias

Wie gesagt: Du hast bisher alles vernünftig aufgeschrieben. Wie genau Dein Übungsleiter die Anwendung der Zeilenumformungen sehen möchte, kann ich nicht genau sagen. Ich halte folgendes für ausreichend um Zeilenumformungen zu beschreiben:
Sei [mm] $A=\pmat{ 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\ 2 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\ 3 & 3 & 3 & \ldots & n-1 & n\\ \vdots & & & \ldots & & \vdots\\ n & n & n & \ldots & n & n}$. [/mm]
Subtrahiere in $A$ die $n$-te Zeile von der $i$-ten Zeile für [mm] $i=1,\ldots,n-1$. [/mm] Dies liefert
$B= [mm] \pmat{ -(n-1) & -(n-2) & -(n-3) & \ldots & -1 & 0\\ -(n-2) & -(n-2) & -(n-3) & \ldots & -1 & 0\\ -(n-3) & -(n-3) & -(n-3) & \ldots & -1 & 0\\ \vdots & & & \ldots & & \vdots\\ -1 & -1 & -1 & \ldots & -1 & 0\\ n & n & n & \ldots & n & n}$. [/mm]

Usw. usf.

Es könnte aber sein, dass von Dir verlangt wird, dass die Einträge der Matrizen "richtig" angibst. Z.B. gilt für obige Matrix $A$, dass [mm] $A=(a_{i,j})$ [/mm] mit [mm] $a_{i,j}= \begin{cases} i & i\leq j\\ j & i< j\end{cases}$. [/mm] Analog für $B$.

Bezug
        
Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Sa 09.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Kann hier als Lösung [mm] (-1)^{n-1}*n [/mm] rauskommen?


LG DerPinguinagent

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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 So 10.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Könnte hier als Lösung $ [mm] (-1)^{n-1}\cdot{}n [/mm] $ rauskommen?


Bezug
                
Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 10.01.2016
Autor: angela.h.b.


>  Könnte hier als Lösung [mm](-1)^{n-1}\cdot{}n[/mm] rauskommen?
>  

Ja.

LG Angela


Bezug
                        
Bezug
Determinante bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 So 10.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Vielen Dank für die Hilfe!

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Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Mo 11.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Ich hätte mal eine allgemeine Frage zur aufschreibweise zu Beweisen. (Habe da noch ein paar Probleme). Konkret beziehe ich mich auf die Aufgabenstellung vom Beginn. Was muss ich alles zusätzlich zu meinem eigentlichen Beweis aufschreiben. Ich hätte zum Beispiel folgendes zu oben geschrieben:

Sei K ein Körper. A [mm] \in K^{nxn}. [/mm] Sei [mm] Q_{i}^{j} [/mm] die elementar Matrix, dann gilt det(A)= Hier würde ich mein eigentlichen Beweis hinschreiben. Wäre das so richtig oder fehlt da was?

Vielen Dank im Voraus!

LG DerPinguinagent

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Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 11.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Ich hätte mal eine allgemeine Frage zur aufschreibweise zu
> Beweisen. (Habe da noch ein paar Probleme). Konkret beziehe
> ich mich auf die Aufgabenstellung vom Beginn. Was muss ich
> alles zusätzlich zu meinem eigentlichen Beweis
> aufschreiben. Ich hätte zum Beispiel folgendes zu oben
> geschrieben:

>

> Sei K ein Körper. A [mm]\in K^{nxn}.[/mm] Sei [mm]Q_{i}^{j}[/mm] die
> elementar Matrix,

Wozu das?

> dann gilt det(A)= Hier würde ich mein
> eigentlichen Beweis hinschreiben. Wäre das so richtig oder
> fehlt da was?

Wenn du es ganz penibel machen möchtest, dann ist wohl vollständige Induktion zu erwägen ...


Beh.: Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist für die Matrix $A$ wie oben [mm] $\operatorname{det}(A)=...$ [/mm]

Dann der Beweis ...

>

> Vielen Dank im Voraus!

>

> LG DerPinguinagent

Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Mo 11.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Also gut dann schreibe ich einfach Beh.: det(A)=... und dann beginne ich sofort mit meinem Beweis. Vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
                                
Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Mo 11.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Also gut dann schreibe ich einfach Beh.: det(A)=... und
> dann beginne ich sofort mit meinem Beweis. Vielen Dank für
> die Hilfe!

Jo, sowas wie:

Sei [mm] $A\in M_n(\IK)$ [/mm] mit $A=(...)$ wie du es im ersten post geschrieben hast.

Beh. [mm] $\forall n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $\operatorname{det}(A)=(-1)^n...$ [/mm] - das, was du da hattest

Bew.: mittels vollst. Ind.

IA: n=1 --> zeigen

IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] bel. und gelte [mm] $\operatorname{det}(A)=...$ [/mm]

Dann zeige, dass die Beh. auch für $n+1$ gilt

Probier's doch mal ganz formal aufzuschreiben ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
Determinante bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Mo 11.01.2016
Autor: DerPinguinagent

Ich muss ja nicht zeigen, dass [mm] (-1)^{n-1} [/mm] gilt ich musste ja nur die Determinante bestimmen und dass habe ich nicht mit Induktion gemacht!

Bezug
                                                
Bezug
Determinante bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Mo 11.01.2016
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Ich muss ja nicht zeigen, dass [mm](-1)^{n-1}[/mm] gilt ich musste
> ja nur die Determinante bestimmen und dass habe ich nicht
> mit Induktion gemacht!

Naja, du kannst natürlich die Zeilenumformungen verwenden, und wenn dein Übungsgruppenleiter mit der "Pünktchen"-Schreibweise zufrieden ist, ist alles ok.

Aber formal korrekt solltest du m.E. eine Induktion machen.

Frage ihn oder sie, wie genau bzw. formal genau der Beweis sein soll ...

Dann hast du Klarheit ;-)

Gruß

schachuzipus

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