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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Marc90 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist A ∈ M(n × [mm] n,\IQ) [/mm] und sind alle Einträge der Matrix ganze Zahlen, so ist det(A) auch eine ganze Zahl. (Hinweis: vollständige Induktion nach n) |
Hallo liebes Mathe Forum!
Ich komme bei meiner Induktion einfach nicht weiter und hoffe ihr könnt mir helfen :)
Hier mal mein Ansatz:
1) IA: n=1
A ∈ M(1 × [mm] 1,\IQ) [/mm] ==> det(A)=1 ==> ganze Zahl
2) IV: n=n
A ∈ M(n × [mm] n,\IQ) [/mm] ==> det(A)= ganze Zahl
3) Induktionsschritt: /
Wie fange ich nun die eigentliche Induktion an?
Liebe Grüße
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie: Ist A ∈ M(n × [mm]n,\IQ)[/mm] und sind alle Einträge
> der Matrix ganze Zahlen, so ist det(A) auch eine ganze
> Zahl. (Hinweis: vollständige Induktion nach n)
> Hallo liebes Mathe Forum!
> Ich komme bei meiner Induktion einfach nicht weiter und
> hoffe ihr könnt mir helfen :)
>
> Hier mal mein Ansatz:
>
> 1) IA: n=1
> A ∈ M(1 × [mm]1,\IQ)[/mm] ==> det(A)=1 ==> ganze Zahl
>
> 2) IV: n=n
> A ∈ M(n × [mm]n,\IQ)[/mm] ==> det(A)= ganze Zahl
>
> 3) Induktionsschritt: /
>
> Wie fange ich nun die eigentliche Induktion an?
>
> Liebe Grüße
Hallo Marc,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
bei dem Beweis musst du dich natürlich auf die Definition
stützen, nach der bei euch der Wert einer Determinante
definiert wurde. Wie dies genau geschehen ist, weiß ich
nicht, aber ich habe die Vermutung, dass wohl gezeigt
wurde, wie man eine Determinante z.B. nach einer
Zeile "entwickelt" und dabei Unterdeterminanten verwendet.
Natürlich brauchst du zum Beweis dann auch die wichtige
Eigenschaft, dass die Menge der ganzen Zahlen bezüglich
der Additionen Addition und Multiplikation abgeschlossen
ist.
Ich hoffe, dass dich diese Hinweise einen oder ein paar
Schritte weiter bringen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 22.06.2014 | | Autor: | Marc90 |
Hey erstmal vielen dank für die Antwort!
>
> bei dem Beweis musst du dich natürlich auf die Definition
> stützen, nach der bei euch der Wert einer Determinante
> definiert wurde.
>
Ich denke mal damit meinst du wie man einer 3x3 Determinante ausrechnet? Sprich: [mm] |A|=\vmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb
[/mm]
> Natürlich brauchst du zum Beweis dann auch die wichtige
> Eigenschaft, dass die Menge der ganzen Zahlen bezüglich
> der Additionen Addition und Multiplikation abgeschlossen
> ist.
>
Hm was genau meinst du damit?
Lg Marc :)
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Hallo und
> >
> > bei dem Beweis musst du dich natürlich auf die Definition
> > stützen, nach der bei euch der Wert einer
> Determinante
> > definiert wurde.
> >
> Ich denke mal damit meinst du wie man einer 3x3
> Determinante ausrechnet? Sprich: [mm]|A|=\vmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb[/mm]
>
Nein, so war das sicher nicht gemeint. Denn mit der obigen Regel von Sarrus kann man Determinbanten nur in den Fällen 2x2 und 3x3 ausrechnen. Also du musst dir überlegen, welche Entwicklungssätze ihr durchgenommen habt uund welchen du ggf. dann verwenden möchtest. Die Aufgabe schreit meiner Anmsicht nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz.
> > Natürlich brauchst du zum Beweis dann auch die wichtige
> > Eigenschaft, dass die Menge der ganzen Zahlen
> bezüglich
> > der Additionen Addition und Multiplikation
> abgeschlossen
> > ist.
> >
> Hm was genau meinst du damit?
Eine Rechenoperation [mm] \circ [/mm] über einer Menge M heißt abgeschlossen, wenn für alle [mm] x,y\in [/mm] M [mm] x\circ{y}\in{M} [/mm] gilt. Bedeutet hier: Summe und Produkt ganzer Zahlen sind wieder ganze Zahlen. So selbstverständlich das klingen mag, man muss es bei solchen Beweisen erwähnen.
Gruß, Diophant
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