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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:49 Do 11.12.2014 | | Autor: | eva4eva |
| Aufgabe | geg.:
[mm] M=\pmat{ 1 & -3& 2 \\ -3 & 7 & -5 \\ 2 & -5 & 8 }
[/mm]
ges.:
invertierbare Matrix S, sodass [mm] S^{T}MS [/mm] eine Diagonalmatrix D ist. |
Hallo,
meine Fragen und Ansätze zur Aufgabe:
1) Warum muss S invertierbar sein?
2) S ist die Matrix, deren Spalten die im Folgenden gesuchten Basisvektoren sind, oder?
3) D ist dann eine diagonale Darst.matrix von b [b ist die Bilinearform, als deren Darst.matrix ich M auffasse], oder? D.h.
[mm] b(v,w)=\pmat{ d_{11} & 0& 0 \\ 0 & d_{22} & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} }=M_{B}(b)=S^{T}M_{E}(b)S
[/mm]
Ansatz zur Aufgabe:
Sei M die Darst.matrix der Bilinearform [mm] b(v,w)=v^{T}Mw,
[/mm]
M gegeben zur Standardbasis E des [mm] \IR^3.
[/mm]
Dass [mm] D=(d_{ij}) [/mm] eine Diag.matrix sein kann, müssen
(i) alle Einträge [mm] d_{ii}\not=0 [/mm] sein: [mm] b(v_{i},v_{i})\not=0
[/mm]
(ii) alle Einträge [mm] d_{ij}=0 [/mm] sein für [mm] i\not=j: b(v_{i},v_{j})=0
[/mm]
Die Vektoren [mm] v_{i}, [/mm] i=1,2,3 sind die gesuchten Basisvektoren der Basis B, für die gilt:
[mm] D=M_{B}(b)=S^{T}M_{E}(b)S.
[/mm]
Jetzt wähle ich z. B. [mm] v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] womit o.g. Forderug erfüllt ist:
[mm] b(v_{1},v_{1})=1\not=0
[/mm]
Damit habe ich einen Basisvektor.
Spätestens ab hier wird es sehr vage:
[mm] [/mm] spannt einen Unterraum U von [mm] \IR^3 [/mm] auf.
Es gilt also [mm] \IR^3=U \oplus [/mm] W
Jetzt fehlen noch 2 Basisvektoren. Diese spannen W auf, also [mm]
[/mm]
4) Sind [mm] w_{1},w_{2} [/mm] die weiteren gesuchten Basisvektoren von B? Wie finde ich die?
Ansatz vielleicht:
Sei die gesuchte Basis [mm] B=(v_{1},w_{1},w_{2})
[/mm]
Es muss gelten mit [mm] v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, v_{2}:=w_{1} [/mm] , [mm] v_{3}:=w_{2},
[/mm]
wie oben eigentlich schon beschrieben und heiter im Kreis gedreht:
[mm] b(v_{1},v_{1})\not=0
[/mm]
[mm] b(v_{2},v_{2})\not=0
[/mm]
[mm] b(v_{3},v_{3})\not=0
[/mm]
[mm] b(v_{1},v_{2}=w_{1})=0
[/mm]
[mm] b(v_{1},v_{3}=w_{2})=0
[/mm]
[mm] b(v_{2}=w_{1},v_{1})=0
[/mm]
[mm] b(v_{2}=w_{1},v_{3}=w_{2})=0
[/mm]
[mm] b(v_{3}=w_{2},v_{1})=0
[/mm]
[mm] b(v_{3}=w_{2},v_{2}=w_{1})=0
[/mm]
Erkenntnis droht:
Es gibt ein LGS mit 9 Unbekannten, wobei 3 Unbekannte schon die Eintraege von [mm] v_{1} [/mm] sind.
5) Löse ich also brav für entsprechende Vektorenpaare
[mm] b(x,y)=x^{T}\pmat{ 1 & -3& 2 \\ -3 & 7 & -5 \\ 2 & -5 & 8 }y
[/mm]
und das daraus resultierende LGS (sieht etwas unfreundlich aus...), so bekomme ich meine Basisvektoren?
Als LGS erhalte ich mit Variaben [mm] v_{2}= \vektor{v_{21} \\ v_{22}\\v_{23}}, v_{3}=analog...
[/mm]
I: [mm] v_{21}-3v_{22}+2v_{23}=0
[/mm]
II: [mm] v_{31}-3v_{32}+2v_{33}=0
[/mm]
III: [mm] v_{21}(v_{31}-3v_{32}+2v_{33})+v_{22}(-3v_{31}+7v_{32}-5v_{33})+v_{23}(2v_{31}-5v_{32}+8v_{33})=0
[/mm]
IV: [mm] v_{31}(v_{21}-3v_{22}+2v_{23})+v_{32}(-3v_{21}+7v_{22}-5v_{23})+v_{33}(2v_{21}-5v_{22}+8v_{23})=0
[/mm]
Stimmt dies?
Kann ich mit III und IV überhaupt was anfangen?
Aus I und II kann ich ja schon ablesen, dass [mm] W=<\vektor{-3 \\ -1\\0},\vektor{2 \\ 0\\-1}>
[/mm]
Aber ist es hiermit wirklich erledigt?
Danke an alle, die mit dem Lesen bis hier gekommen sind.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 12.12.2014 | | Autor: | eva4eva |
Da ich keine Antwort erhalte, versuche ich es mit einer Kurzfassung:
AUFGABE:
geg.:
$ [mm] M=\pmat{ 1 & -3& 2 \\ -3 & 7 & -5 \\ 2 & -5 & 8 } [/mm] $
ges.:
invertierbare Matrix S, sodass $ [mm] S^{T}MS [/mm] $ eine Diagonalmatrix D ist.
______________
FRAGE:
Sei
b: [mm] \IR^3 [/mm] x [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3
[/mm]
(x,y) -> [mm] x^{T}\pmat{ 1 & -3& 2 \\ -3 & 7 & -5 \\ 2 & -5 & 8 }y
[/mm]
Anstelle von M soll eine Diagonalmatrix stehen. Hierfür suche ich eine Basis [mm] B=(v_{1},v_{2},v_{3}), [/mm] zu welcher M eine Diag.marix wird:
Wähle [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 0\\0}, [/mm] dann ist dies einer von 3 Basisvektoren, denn er erfüllt $ [mm] b(v_{1},v_{1})=1\not=0 [/mm] $
Es gilt [mm] \IR^3=U \oplus [/mm] W
U sei der 1-dim. Unterraum, der von [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] erzeugt wird.
W ist demnach 2-dim., d h es sind 2 weitere Vektoren [mm] w_{1,2} [/mm] gesucht, die W aufspannen mit [mm] =\IR^3.
[/mm]
LGS liefert $ [mm] W=<\vektor{-3 \\ -1\\0},\vektor{2 \\ 0\\-1}> [/mm] $.
Wie kann ich nun weiter machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Sa 13.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
das ist alles nicht besonders brauchbar was du machst.
Bestimme eine Basis von [mm] $\mathbb{R}^3$, [/mm] die aus Eigenvektoren von M besteht. Dann bist du fertig.
Liebe Grüße
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:22 Sa 13.12.2014 | | Autor: | eva4eva |
Hallo, vielen Dank für Deine Antwort!!!
Habe sehnlichst auf eine solche gewartet, da ich einfach nicht voran komme.
Ich muss Dir aber sagen, dass dieses Vorgehen im Ansatz (!) nicht falsch sein kann, da es quasi so im Lehrbuch steht. Und genau das möchte ich nachvollziehen.
Wie Du es vorschlägst, kann es mglw auch gehen, ich werde es auch mal versuchen, aber wie gesagt:
Ich möchte, wie es auf einem anderen Forum jmd geschrieben hat
"..., die Basis B direkt zu konstruieren.
Man fängt mit einem geeigneten Basiselement [mm] v_1 [/mm] an und überlegt sich, wie man dann ein passendes [mm] v_2 [/mm] finden kann usw., und erst wenn man mit der Konstruktion von B fertig ist, ergibt sich die Transformationsmatrix S."
Edit:
Dieses Vorgehen lehnt sich an an den Beweis, dass es allg. solch eine Basis gibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 15.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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