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Forum "Topologie und Geometrie" - Dicht, T_2 Raum wozu, Netze
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Dicht, T_2 Raum wozu, Netze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 29.09.2015
Autor: sissile

Aufgabe
In der Vorlesung hatten wir den Satz:
Sei (X, [mm] \mathcal{O}) [/mm] ein Topologischer Raum und A [mm] \subseteq [/mm] X dicht und f,g: [mm] X\rightarrow [/mm] Y stetige Abbildungen in einen [mm] T_2 [/mm] Raum. Stimmen f und g auf A überein, dann gilt schon f=g.

Meine Frage:
Wozu braucht man die [mm] T_2 [/mm] (Hausdorff) Eigenschaft in Y?

Der Beweis in der Vorlesung verwendet die [mm] T_2 [/mm] Eigenschaft. Indem indirekt angenommen wird, dass [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) und diese dann mittels [mm] T_2 [/mm] durch offene disjunkte Mengen U,V getrennt werden. Auf [mm] f^{-1} (U)\cap g^{-1}(V) [/mm] gilt dann [mm] f\not=g.Da [/mm] x [mm] \in f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) [/mm] und  [mm] f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) [/mm] offen ist, ist  [mm] f^{-1}(U) \cap g^{-1}(V) [/mm] eien Umgebung um x. Die Gleichung A [mm] \cap (f^{-1}(U)\cap g^{-1} [/mm] (V))= [mm] \emptyset [/mm] ergibt dann einen Widerspruch zu [mm] \overline{A}=X [/mm]

Aber wie wäre es mit dem Beweis analog im MR mit Netzen?

f(A)=g(A) für A dicht in X,
d.h. X= [mm] \overline{A}, [/mm] d.h. [mm] \forall x\in [/mm] X: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U_x: [/mm] U [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm]

Sei x [mm] \in [/mm] X beliebig aber fix.
Definiere Netz von der gerichtete Menge der Umgebungsbasen von x ausgehend:
[mm] \{\mathcal{V}_x, \le \} [/mm] mit [mm] V_1, V_2 \in \mathcal{V}: V_1 \le V_2 \iff V_2 \subseteq V_1 [/mm]
Für jedes V [mm] \in \mathcal{V}_x [/mm] wählen wir ein beliebiges [mm] x_V \in [/mm] V [mm] \cap [/mm] A
Es gilt [mm] x_V \rightarrow [/mm] x
[mm] f(x)=f(\lim x_{v})=\lim f(x_v)=\lim g(x_v)=g(\lim x_{v})= [/mm] g(x)
2te und 4te Gleichheit verwendet die Stetigkeit via Netze.
3.te Gleichheit verwendet f(A)=g(A) für A.
Wozu also Y als [mm] T_2 [/mm] Raum auszeichnen?

LG,
sissi

        
Bezug
Dicht, T_2 Raum wozu, Netze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Di 29.09.2015
Autor: fred97

Du hast völlig recht, die Forderung "Y ist ein [mm] T_2 [/mm] - Raum" ist überflüssig.

Sei $(X,  [mm] \mathcal{O}) [/mm] $  ein top. Raum und B eine Teilmenge von X. Dann hat man folgende Charakterisierung der abgeschlossenen Hülle von B:

  b [mm] \in \overline{B} [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

  es ex. ein Netz [mm] (b_i)_{i \in I} [/mm] in B mit [mm] b_i \to [/mm] b.

Zu Deinem Beweis: Du brauchst nicht das von Dir konstruierte spezielle Netz !

Ist x [mm] \in X=\overline{A} [/mm] , so ex. also ein  Netz [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] in A mit [mm] x_i \to [/mm] x.

Wegen [mm] f(x_i)=g(x_i) [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I und der Stetigkeit von f und g im Punkt x folgt f(x)=g(x).

FRED



Bezug
                
Bezug
Dicht, T_2 Raum wozu, Netze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Di 29.09.2015
Autor: sissile

Der Beweis ist ja noch besser und schneller.
Vielen Dank,
sissi

Bezug
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