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Dichtefunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Mi 02.08.2006
Autor: ClaudiV

Aufgabe
Betrachten Sie die folgende Funktion ( x ≥ 0 ):


f (x) = (c/4) exp(-0.8x)

a) Für welchen Wert der Konstanten c ist diese Funktion eine Dichte?

Mir ist im Prinzip schon klar wie man das berechnet. Es müssen 2 Bedingungen erfüllt sein: f(x) ≥ 0 und ∫f(x) dx=1
also das Integral von -∞ bis ∞ (Ich weiß leider nicht wie man ein Integral wo die Grenzen dran stehen einfügt tut mir Leid).

Die 1. Bed. ist für alle c ≥ 0 erfüllt. Naja und bei der 2. Bedingung gibt es ein paar Probleme. Es gibt eine Musterlösung zu der Klausur, in der die das Integral von 0 bis ∞ berechnet haben. Ich versteh aber nicht wieso man genau diese Grenzen nimmt.

Außerdem muss man dann ja ∞ in die GLeichung einsetzen. Wenn ich das hier richtig sehe , dann kommt bei denen für das Integral von exp(-0,8*∞) 0 raus. Das kann doch nun aber gar nicht sein oder? Die e-Funktion kann doch niemals 0 ergeben oder?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Dichtefunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mi 02.08.2006
Autor: Event_Horizon


> (Ich weiß
> leider nicht wie man ein Integral wo die Grenzen dran
> stehen einfügt tut mir Leid).


so:

\integral_{UntereGrenze}^{ObereGrenze}


> Die 1. Bed. ist für alle c ≥ 0 erfüllt. Naja und bei
> der 2. Bedingung gibt es ein paar Probleme. Es gibt eine
> Musterlösung zu der Klausur, in der die das Integral von 0
> bis ∞ berechnet haben. Ich versteh aber nicht wieso
> man genau diese Grenzen nimmt.


Du hast selbst gesagt, man muß von -oo bis +oo integrieren. In der Funktionsdefninition steht aber, daß die Funktion nur für x>0 gelten soll! Also macht eine kleinere untere grenze keinen Sinn, weil die Fkt da nicht definiert ist.

>  
> Außerdem muss man dann ja ∞ in die GLeichung
> einsetzen. Wenn ich das hier richtig sehe , dann kommt bei
> denen für das Integral von exp(-0,8*∞) 0 raus. Das
> kann doch nun aber gar nicht sein oder? Die e-Funktion kann
> doch niemals 0 ergeben oder?


Nun, das ist eine Grenzwertbetrachtung. Je größer x, desto näher geht die Funktion gegen 0. Die Schreibweise [mm] $e^{-0,8\infty}=0$ [/mm] ist mathematisch alles andere als schmerzlos, eigentlich ist es eher [mm] $\lim_{x \to \infty}e^{-0,8x}=0$, [/mm] sagt aber beides das gleiche aus.

Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:19 Mi 02.08.2006
Autor: DirkG


> Du hast selbst gesagt, man muß von -oo bis +oo integrieren.
> In der Funktionsdefninition steht aber, daß die Funktion
> nur für x>0 gelten soll! Also macht eine kleinere untere
> grenze keinen Sinn, weil die Fkt da nicht definiert ist.

Stimmt so nicht ganz: Die Dichte ist auch für x<0 definiert, nur ist sie dort einfach gleich Null - das wird gern bei der Angabe der Dichte weggelassen. Und wegen dieser Null kann der Bereich x<0 beim Integral dann weggelassen werden.

Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Do 03.08.2006
Autor: ron

Hallo,
wollte doch mal in Erinnerung bringen, dass Integrale additiv verknüpft werden können an ihren Grenzen. Hier kommt dann die "intelligente" Null zum Zug.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}+\underbrace{\integral_{-\infty}^{0}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}}_{=0}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{c}{4}e^{-\bruch{8}{10}x} dx}+0={-\bruch{10c}{32}\underbrace{e^{-\bruch{8}{10}x}}_{e^{-\infty}\to{0}}}|_{0}^{\infty}=-\bruch{10c}{32}(0-1)\equiv1 [/mm] (damit f Dichte ist!)
Somit: [mm] c=\bruch{32}{10}=\bruch{16}{5} [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Fr 04.08.2006
Autor: ClaudiV

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

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