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Die anderen Aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 So 22.06.2003
Autor: Fab

1.) siehe 2.) & 3.)

[x^(2) *(x*y^(3))^(2)]^(5) siehe 2.) und 3.)

2.) siehe 3.)

(1/4s^(3) t^(2) + 2 * s^(2) * t^(5) / [1/2 * s^(2) * t^(2)]

3.)Forme den Term mit hilfe der Potenzgesetze in möglichst einfache,
gleichwertige Terme mit natürlichem exponenten um!

[x^(2) -8x +16]^(7n+3) / (x-4)^(5n-4)

4.) Berechen so weit wie möglich

1-a^(5) / a^(7) + 1 / a^(2)

5.) Berechne so weit wie möglich
[2a^(3) - a^(2) / a^(n)] - [a^(5) - a^(4) / a^(n+2)] + [2-a / a^(n-2)]

6.) Bestimme die Lösungsmenge

2^(3x) *4 = 2^(11)


        
Bezug
Die anderen Aufgaben: 1. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> 1.)
>
> [x^(2) *(x*y^(3))^(2)]^(5) siehe 2.) und 3.)

Das "siehe" bezieht sich auf die Aufgabenstellung, die unter 3.) zu finden ist? Also die hier:

> 3.)Forme den Term mit hilfe der Potenzgesetze in möglichst
> einfache,
> gleichwertige Terme mit natürlichem exponenten um!

(Ein natürlicher Exponent ist eine natürliche Zahl, also eine Zahl aus der Menge [mm]\mathds{N} = \lbrace 0,1,2,3,...\rbrace [/mm])

Zur Sicherheit schreibe ich die Aufgabe noch mal, um Mißverständnissen vorzubeugen:

[mm] =\left( x^2 \cdot \left( x \cdot y^3 \right)^2 \right)^5 [/mm]

Tja, hier müssen nacheinander die Potenzgesetze angewendet werden, wegen der vielen Klammern vor allem dieses hier:

[mm2] \left( a \cdot b\right)^n = a^n \cdot b^n [/mm2]

aber auch das brauchen wir:

[mm2] \left( x^n \right)^m = x^{n \cdot m} [/mm2]

Dann wolln wa mal.
Ich löse die Klammern von innen nach außen auf; es geht auch anders herum, aber so finde ich es einfacher:

[mm] =\left( x^2 \cdot x^2 \cdot y^6 \right)^5 [/mm]

Fasse die beiden x² zusammen:

[mm] =\left( x^4 \cdot y^6 \right)^5 [/mm]

Jetzt die äußersten Klammern:

[mm] = x^{20} \cdot y^{30} [/mm]

Das war's auch schon, denn die Exponenten 20 und 30 sind natürliche Zahlen.

Gruß,
Marc.


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Die anderen Aufgaben: 1. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

deine Antwort auf diese Antwort ist leider verloren, ich zitiere sie hier:

> ich bin ja sooooooooooooooooo dumm
> das is alles so einfach und ich mache sonst was!!!!

Ist doch gut, dass du schon mal siehst, dass es einfach ist! :-) Das ist der erste Schritt, um die Aufgaben später auch auf die einfache Weise zu lösen :-).

Also, ruhig Blut, denke daran, dass es nur eine Handvoll Potenzregeln gibt, und die kann man beim Lösen ja ziemlich gut im Kopf "durchspielen", wenn man einen Potenzterm vereinfachen/umformen soll.

Das kommt alles mit Übung und der Zeit, also, möglichst viele Übungsaufgaben machen. Ich kontrolliere sie auch alle, versprochen :-)

Marc


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Die anderen Aufgaben: 1. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 So 22.06.2003
Autor: Fab

Das ist nett!!!
Danke nochmal das du dir so 'ne Mühe Machst


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Die anderen Aufgaben: 1. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 So 22.06.2003
Autor: Fab

aso
ich werde jetzt mal essen und ne ganz kurze pause machen (mir raucht der KOpf)
und dann werde ich nochmal welche rechnen!
Und wie machst du eigentlich die Bruchstriche und so?!


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Die anderen Aufgaben: 2. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:42 So 22.06.2003
Autor: Marc

Fab schrieb:

> 2.) siehe 3.)
>
> (1/4s^(3) t^(2) + 2 * s^(2) * t^(5) / [1/2 * s^(2) * t^(2)]
>
> 3.)Forme den Term mit hilfe der Potenzgesetze in möglichst
> einfache,
> gleichwertige Terme mit natürlichem exponenten um!

OK, ich vermisse da irgendwie die zu der ersten Klammer gehörige schließende Klammer, aber ich denke sie mir mal kurz vor dem "/"-Symbol; die Aufgabe lautet dann:

[mm2] \frac { \frac{1}{4}s^3 t^2 + 2 \cdot s^2 \cdot t^5 }{ \frac{1}{2} \cdot s^2 \cdot t^2 } [/mm2]

Hier würde ich zunächst möglichst viel im Zähler ausklammern, denn durch das Ausklammern verwandelt sich die Summe in ein Produkt, und damit können Brüche ja ziemlich gut umgehen (Stichwort: Kürzen; eigentlich wollten wir ja nicht mehr kürzen, und du wirst sehen, dass wir das auch nicht brauchen, aber die alte Regel, dass Produkte im Zähler oder Nenner vorteilhaft sind, bleibt trotzdem wahr):

Offenbar kann im Zähler [mm]s^2 t^2[/mm] ausgeklammert werden:
[mm2] = \frac { s^2 t^2 \cdot \left( \frac{1}{4}s^1 t^0 + 2 \cdot s^0 \cdot t^3 \right) }{ \frac{1}{2} \cdot s^2 \cdot t^2 } [/mm2]

bzw. (da [mm]x^0 = 1[/mm] und [mm]x^1 = x[/mm])

[mm2] = \frac { s^2 t^2 \cdot \left( \frac{1}{4}s + 2 \cdot t^3 \right) }{ \frac{1}{2} \cdot s^2 \cdot t^2 } [/mm2]

Nun, jetzt könnten wir stur sein und schreiben:

[mm] = s^2 t^2 \cdot \left( \frac{1}{4}s + 2 \cdot t^3 \right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot s^2 \cdot t^2\right)^{-1} = s^2 t^2 \cdot \left( \frac{1}{4}s + 2 \cdot t^3 \right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot s^{-2} \cdot t^{-2} [/mm]

aber ich denke, es ist klar, dass wir hier sofort [mm]s^2 t^2[/mm] kürzen können:

[mm2] = \frac { \frac{1}{4}s + 2 \cdot t^3 }{ \frac{1}{2} } [/mm2]

Jetzt müssen wir noch irgendwie die 1/2 aus dem Nenner entfernen; wenn man diese "1/2" aber auffaßt als "dividiert durch 1/2", dann können wir auch einfach mit dem Kehrwert 2/1=2 multiplizieren:

[mm] = \left( \frac{1}{4}s + 2 \cdot t^3 \right) : \frac{1}{2} [/mm]

[mm] = \left( \frac{1}{4}s + 2 \cdot t^3 \right) \cdot 2 [/mm]

Ausmultiplizieren:

[mm] = 2 \cdot \frac{1}{4}s + 2 \cdot 2 \cdot t^3 [/mm]

[mm] = \frac{1}{2}s + 4 t^3 [/mm]

Das war's wieder mal.

Falls etwas unklar ist, frag' bitte unbedingt nach!

Viel Erfolg,
Marc


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Die anderen Aufgaben: 3. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> 3.)Forme den Term mit hilfe der Potenzgesetze in möglichst
> einfache,
> gleichwertige Terme mit natürlichem exponenten um!
>
> [x^(2) -8x +16]^(7n+3) / (x-4)^(5n-4)

Die Aufgabe lautet also:

[mm2] \frac { \left( x^2 -8x + 16 \right)^{7n+3} }{ (x-4)^{5n-4} } [/mm2]

Hier gebe ich dir mal nur einen Tipp: [mm] x^2-8x+16[/mm] kann man mittels binomischer Formel umformen... Oh, im Zähler und im Nenner ist ja dann etwas gleich...

Wenn dir dieser Tipp nicht reicht, frag' nochmal nach, oder schreib' mir einfach deinen weiteren Lösungsweg :-)

Gruß,
Marc


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Die anderen Aufgaben: 4. Aufgabe KORREKTUR
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> 4.) Berechen so weit wie möglich
>
> 1-a^(5) / a^(7) + 1 / a^(2)

Die Aufgabe lautet

[mm] 1- \frac{a^5}{a^7} + \frac{1}{a^2} [/mm]
(so hast du sie aufgeschrieben)

oder lautet sie

[mm] \frac{1-a^5}{a^7} + \frac{1}{a^2} [/mm] ??
(so fände ich sie interessanter...:-))

Ich rechne es mal für die erste Möglichkeit; für die zweite Möglichkeit hättest du ja Klammern setzen müssen, also [mm] (1-a^5) [/mm] / [mm] a^7 [/mm] + ...

[mm] 1- \frac{a^5}{a^7} + \frac{1}{a^2} [/mm]

[mm] =1- a^{5-7} + a^{-2} [/mm] Hier habe ich korrigiert, denn es stand dort a^(-1) statt a^(-2)

[mm] =1- a^{-2} + a^{-2} [/mm]

[mm] = 1 [/mm]

Mehr ist nicht möglich :-).
Aus Spaß rechne ich mal aus, was rauskommt, wenn ich mir wie oben beschrieben noch Klammern denken würde:

[mm] \frac{1-a^5}{a^7} + \frac{1}{a^2} [/mm]
[mm] = \frac{1}{a^7} - \frac{a^5}{a^7} + \frac{1}{a^2} [/mm]
[mm] = a^{-7} - a^{-2} + a^{-2} [/mm]
[mm] = a^{-7} [/mm]

Falls die zweite Möglichkeit deine tatsächliche Aufgabe war, denke bitte daran, Klammern zu setzen.

Gruß,
Marc.


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Die anderen Aufgaben: 4. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 So 22.06.2003
Autor: Fab

Tach
habe einfach mal vergessen die Klammern zu setzen...


und bei der aufgabe mit der binomischen formel wusste ich nicht wie ich das zusammen fassen sollte


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Die anderen Aufgaben: 5. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> 5.) Berechne so weit wie möglich
> [2a^(3) - a^(2) / a^(n)] - [a^(5) - a^(4) / a^(n+2)] + [2-a /
> a^(n-2)]

Bist du sicher, dass die Aufgabe so lautet:

[mm2] \left\lbrack2a^3 - \frac{a^2}{a^n}\right\rbrack - \left\lbrack a^5 - \frac{a^4}{a^{n+2}}\right\rbrack + \left\lbrack 2 - \frac{a}{a^{n-2}}\right\rbrack [/mm2]

So hast du es zumindestens aufgeschrieben...

Bitte denke daran, Zähler und Nenner einzuklammern, denn z.B. bei

2 - a/a^(n-2)

bezieht sich der Bruchstrich nur auf das "a", während er sich bei

(2-a) / a^(n-2)

auf 2-a bezieht.
Bitte kläre mich noch auf, bevor ich mit der Aufgabe beginne :-) Oder vielleicht kannst du ja schon einen kleinen Ansatz aufschreiben...

Gruß,
Marc


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Bezug
Die anderen Aufgaben: 5. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

die Aufgabe lautet also

[mm2] \frac{2a^3 - a^2}{a^n} - \frac{a^5 -a^4}{a^{n+2}} + \frac{2 -a}{a^{n-2}} [/mm2]

Hier müssen wir unbedingt die drei Brüche zusammenfassen, wozu wir sie also zunächst gleichnamig machen müssen. Der Hauptnenner ist [mm]a^{n+2}[/mm], denn alle Nenner sind ein Teiler von ihm ([mm]a^{n+2} : a^n = a^{2}[/mm] und [mm]a^{n+2} : a^{n-2} = a^4[/mm])

Also erweitere ich den ersten Bruch mit [mm]a^2[/mm] und den dritten Bruch mit [mm]a^4[/mm]:

[mm2] =\frac{\left(2a^3 - a^2\right)\cdot a^2}{a^n \cdot a^2} - \frac{a^5 -a^4}{a^{n+2}} + \frac{\left(2 -a\right) \cdot a^4}{a^{n-2} \cdot a^4} [/mm2]

Alle Nenner sind nun offenbar gleich, nämlich [mm]a^{n+2}[/mm]

Jetzt multipliziere ich noch die Zähler des ersten und dritten Bruches aus:

[mm2] =\frac{2a^3 \cdot a^2 - a^2 \cdot a^2}{a^{n+2}} - \frac{a^5 -a^4}{a^{n+2}} + \frac{2 \cdot a^4 -a \cdot a^4}{a^{n+2}} [/mm2]

Vereinfache noch ein paar Zähler, bevor ich zum Zusammenfassen der Brüche komme:

[mm2] =\frac{2a^5 - a^4}{a^{n+2}} - \frac{a^5 -a^4}{a^{n+2}} + \frac{2 \cdot a^4 - a^5}{a^{n+2}} [/mm2]

Fasse nun die drei Brüche zusammen und beachte, dass ein Bruchstrich auch eine "klammernde Wirkung" hat, d.h., wenn der Zähler eine Summe (oder wie hier) Differenz ist, muß dieser eingeklammert werden, wenn der Bruchstrich wegfällt:

[mm2] =\frac{ \left( 2a^5 - a^4\right) - \left( a^5 -a^4 \right) + \left( 2 \cdot a^4 - a^5 \right) } {a^{n+2}} [/mm2]

Nun, das erste und dritte Klammerpaar ist tatsächlich überflüssig, da es sich dort um "Plus"-Klammern handelt; sie können einfach weggelassen werden. Die mittlere Klammer ist eine "Minus"-Klammern, und zum Auflösen muß das Vorzeichen jedes Summanden innerhalb der Klammer "umgedreht" werden:

[mm2] =\frac{ 2a^5 - a^4 - a^5 + a^4 + 2 \cdot a^4 - a^5 } {a^{n+2}} [/mm2]

Sortiere nun nach Potenzen mit gleichem Exponenten und gleicher Basis, da man nur diese bei einer Addition/Subtraktion zusammenfassen kann (würden die Potenzen multipliziert, dann reicht es ja schon, wenn entweder nur die Basen übereinstimmen oder die Exponenten).

[mm2] =\frac{ 2a^5 - a^5 - a^5 - a^4 + a^4 + 2 \cdot a^4 } {a^{n+2}} [/mm2]

[mm2] =\frac {2 \cdot a^4 } {a^{n+2}} [/mm2]

(Erinnerung: Nicht kürzen :-), besser Potenzgesetz anwenden)

[mm2] =2 \cdot a^4 \cdot (a^{n+2})^{-1} [/mm2]

[mm2] =2 \cdot a^4 \cdot a^{-(n+2)} [/mm2]

[mm2] =2 \cdot a^{4-n-2} [/mm2]

[mm2] =2 \cdot a^{2-n} [/mm2]

So, ich hoffe nun, du hast alles verstanden und fragst nach, falls dem nicht so ist :-)

Schönen Abend,
Marc


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Die anderen Aufgaben: 6. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> 6.) Bestimme die Lösungsmenge
>
> 2^(3x) *4 = 2^(11)

Aufgabe:

[mm]2^{3x} \cdot 4 = 2^{11} [/mm]

Dies ist eine so genannte Exponentialgleichung; der Name ist ja egal, und ich glaube, ihr werdet das auch nicht so ausführlich besprechen (erst in der 10), wichtig ist hier ja nur, wie man sie löst. Das macht man durch Vergleich der Exponenten.
Zum Beispiel bei [mm] 2^{x+1} = 2^{3} [/mm] sieht man doch sofort, dass [mm]x+1=3[/mm] sein muß, denn zwei Potenzen mit gleicher Basis können nur dann gleich sein, wenn auch die Exponenten gleich sind. Wie in diesem Beispiel kann man solche Exponenten von Potenzen vergleichen, bei denen die Basen identisch sind (hier haben wir nur jeweils eine Potenz mit der Basis 2).

[mm]2^{3x} \cdot 4 = 2^{11} [/mm]

Zuerst schreibe ich das Produkt auf der linken Seite der Gleichung als eine einzige Potenz:

[mm]\Leftrightarrow 2^{3x} \cdot 2^2 = 2^{11} [/mm]
[mm]\Leftrightarrow 2^{3x+2} = 2^{11} [/mm]

Jetzt können wir schon die Exponenten vergleichen, denn die Basen stimmen ja überein:

[mm]\Leftrightarrow 3x+2 = 11 [/mm]

Das ist aber jetzt eine ganz simple (lineare) Gleichung, die du sicher schon lösen kannst:

[mm]\Leftrightarrow 3x = 9 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow x = 3 [/mm]

Lösungsmenge:

[mm]\mathds{L} = \lbrace 3 \rbrace [/mm]


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