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Diff'barkeit und konkave Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:50 Sa 22.07.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

laut Wikipedia [](Wikipedia, 1. Punkt) gilt folgende Aussage:
Eine differenzierbare Funktion $f$ ist auf einem Intervall $I$ konkav genau dann, wenn ihre Ableitung $f'$ monoton fallend auf diesem Intervall ist.

Lässt sich diese Aussage nun auf Funktionen erweitern, die Lebesgue-fast überall diff'bar sind und wenn ja, wie zeigt man dies?

Grüße
Die_Suedkurve


        
Bezug
Diff'barkeit und konkave Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Di 25.07.2017
Autor: leduart

Hallo
was ist "Lebesgue-fast überall diff'bar " meinst du einfach bis auf isolierte Punkte?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Diff'barkeit und konkave Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:59 Mi 26.07.2017
Autor: fred97


> Hallo
>  was ist "Lebesgue-fast überall diff'bar " meinst du
> einfach bis auf isolierte Punkte?

Hallo Leduart,

nein, das ist damit nicht gemeint, sondern:

$f:I [mm] \to \IR$ [/mm] ist  "Lebesgue-fast überall diff'bar "  [mm] \gdw [/mm] es ex. eine Lebesgue -Nullmenge N [mm] \subseteq [/mm] I mit: f ist auf I [mm] \setminus [/mm] N differenzierbar.


>  Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
Diff'barkeit und konkave Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Mi 26.07.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> laut Wikipedia
> [](Wikipedia, 1. Punkt)
> gilt folgende Aussage:
>  Eine differenzierbare Funktion [mm]f[/mm] ist auf einem Intervall [mm]I[/mm]
> konkav genau dann, wenn ihre Ableitung [mm]f'[/mm] monoton fallend
> auf diesem Intervall ist.
>  
> Lässt sich diese Aussage nun auf Funktionen erweitern, die
> Lebesgue-fast überall diff'bar sind und wenn ja, wie zeigt
> man dies?

Vielleicht hilft Dir das:

Ist $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] konvex (oder konkav), so ist f auf I lokal Lipschitzstetig. Ein Satz von Rademacher sagt nun: f ist auf I fast überall differenzierbar.


>  
> Grüße
>  Die_Suedkurve
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Diff'barkeit und konkave Fkt.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:46 Mi 26.07.2017
Autor: Die_Suedkurve


>  
> Vielleicht hilft Dir das:
>  
> Ist [mm]f:I \to \IR[/mm] konvex (oder konkav), so ist f auf I lokal
> Lipschitzstetig. Ein Satz von Rademacher sagt nun: f ist
> auf I fast überall differenzierbar.
>  
>

Hallo fred97,

den Satz habe ich auch schon gefunden.
Ich vermute, man kann zumindest einen Teil der Aussage wie folgt abändern:

Sei $f$ eine Funktion auf einem Intervall $I$, die Lebesgue-fast überall diff'bar ist.
Es gilt:
$f$ konkav auf $I$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert eine monoton fallende Funktion $g$ auf $I$, die bis auf eine Lebesgue-Nullmenge mit $f'$ übereinstimmt.

Wie gesagt, ist dies nur eine Vermutung meinerseits. Macht das Sinn?

Grüße
Die_Suedkurve

Bezug
                        
Bezug
Diff'barkeit und konkave Fkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 03.08.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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