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Forum "Differenzialrechnung" - Differentialquotient
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Differentialquotient: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Di 11.07.2017
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion einer reellen Variablen  x  mit  f(x) = [mm] \wurzel{3x + 5} [/mm] - 2.
a) Berechnen und vereinfachen Sie:  p(h) := [mm] \bruch{f(x + h) - f(x)}{h} [/mm]
b) Berechnen Sie    lim für h -> 0 von p(h).

Frage zu b):  meine Lösung über Differenzenquotient und Differetialquotient stimmt nicht mit der Ableitung von  p(x)  überein. p'(x) = [mm] \bruch{3}{2\wurzel{3x + 5}}. [/mm]

Meine Lösung:
p(h) = [mm] \bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h} [/mm]

p(h) = [mm] \bruch{\wurzel{3(x + h) + 5}}{h} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3x + 5}}{h} [/mm]

gesucht:   lim für h -> 0 von p(h)

Ich erweitere jeden der beiden Brüche mit seiner Wurzel :

p(h) = [mm] \bruch{3x + 3h + 5}{\wurzel{3x + 3h + 5} h} [/mm] - [mm] \bruch{3x + 5}{\wurzel{3x + 5} h} [/mm]

für  h -> 0  ergibt sich:

[mm] \wurzel{3x + 3h + 5} [/mm]  ->  [mm] \wurzel{3x + 5} [/mm]

=>   lim für h -> 0 von p(h) =

     = [mm] \bruch{3x + 3h + 5 - (3x + 5)}{\wurzel{3x + 5}h} [/mm]

     = [mm] \bruch{3h}{\wurzel{3x + 5}h} [/mm]

     = [mm] \bruch{3}{\wurzel{3x + 5}} [/mm]

Dieses Ergebnis stimmt aber nicht, da ja

  p'(x) = [mm] \bruch{3h}{2\wurzel{3x + 5}h} [/mm]  herauskommen müsste.

        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Mi 12.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Gegeben sei die Funktion einer reellen Variablen  x  mit  
> f(x) = [mm]\wurzel{3x + 5}[/mm] - 2.
>  a) Berechnen und vereinfachen Sie:  p(h) := [mm]\bruch{f(x + h) - f(x)}{h}[/mm]
>  
> b) Berechnen Sie    lim für h -> 0 von p(h).
>  Frage zu b):  meine Lösung über Differenzenquotient und
> Differetialquotient stimmt nicht mit der Ableitung von  
> p(x)  überein. p'(x) = [mm]\bruch{3}{2\wurzel{3x + 5}}.[/mm]
>  
> Meine Lösung:
>  p(h) = [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]
>  
> p(h) = [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5}}{h}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]
>  
> gesucht:   lim für h -> 0 von p(h)
>  
> Ich erweitere jeden der beiden Brüche mit seiner Wurzel :
>  
> p(h) = [mm]\bruch{3x + 3h + 5}{\wurzel{3x + 3h + 5} h}[/mm] -
> [mm]\bruch{3x + 5}{\wurzel{3x + 5} h}[/mm]
>  
> für  h -> 0  ergibt sich:
>  
> [mm]\wurzel{3x + 3h + 5}[/mm]  ->  [mm]\wurzel{3x + 5}[/mm]

>  
> =>   lim für h -> 0 von p(h) =

>  
> = [mm]\bruch{3x + 3h + 5 - (3x + 5)}{\wurzel{3x + 5}h}[/mm]


Stopp!

Beide Brüche gehen für h-->0 gegen unendlich bzw. -unendlich. Du kannst nicht bei einem im Nenner h in der Wurzel gegen 0 und außerhalb noch als h verwenden.


p(h) = [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]=  [mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} - \wurzel{3x + 5}}{h}[/mm]*[mm]\bruch{\wurzel{3(x + h) + 5} + \wurzel{3x + 5}}{\wurzel{3(x + h) + 5} + \wurzel{3x + 5}}[/mm]

Jetzt wende auf den Zähler die 3. bin. Formel an...


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