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Differentialrechnung: Differential und Tangengl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 21.06.2015
Autor: smoot

Aufgabe
Gegeben:
f(x) = [mm] \bruch{5*x^{2}+2*x}{4*x+1} [/mm]

Gesucht:
1.) Ableitung
2.) Differential zu jedem Punkt aus dem Definitionsbereich
3.) Tangentengleichung

Zu 1.)

Mittels Quotientenregel:
f'(x) = [mm] \bruch{(20*x^{2}+10*x+2)}{(16*x^{2}+8*x+1)} [/mm]

Bei der 2.) habe ich das Problem, dass ich für die Formel:
df(h) = f'(x0)*h nicht weiß wie ich an einen Punkt x0 komme und was der Faktor h zu bedeuten hat.

und zu der 3.) benötige ich doch ebenfalls den Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen um die Gleichung aufzustellen..

Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 So 21.06.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Gegeben:
>  f(x) = [mm]\bruch{5*x^{2}+2*x}{4*x+1}[/mm]
>  
> Gesucht:
>  1.) Ableitung
>  2.) Differential zu jedem Punkt aus dem
> Definitionsbereich
>  3.) Tangentengleichung
>  Zu 1.)
>  
> Mittels Quotientenregel:
> f'(x) = [mm]\bruch{(20*x^{2}+10*x+2)}{(16*x^{2}+8*x+1)}[/mm]

[mm] $=2\cdot\frac{10x^2+5x+1}{(4x+1)^2}$ [/mm]
[ok]

>  
> Bei der 2.) habe ich das Problem, dass ich für die
> Formel:
>  df(h) = f'(x0)*h nicht weiß wie ich an einen Punkt x0
> komme und was der Faktor h zu bedeuten hat.

[mm] $x_0$ [/mm] ist Element des Definitionsbereichs und h wird vermutlich die 'Entfernung' von [mm] $x_0$ [/mm] sein, so dass [mm] $|x_0-h|\ll [/mm] 1$ gilt.

>
> und zu der 3.) benötige ich doch ebenfalls den
> Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen um die Gleichung
> aufzustellen..

Richtig, die Steigung brauchst Du ebenfalls.

>  
> Danke für eure Hilfe
>  Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Differentialrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 So 21.06.2015
Autor: smoot

Ist es denn überhaupt möglich den Punkt x0 nur aus der vorhandenen Funktionsgleichung zu bestimmen oder ist hier die allgemeine Lösung gesucht:

df = dy = f'(x0) * dx     mit dx = h

dy = [mm] \bruch{20*x0 + 10*x0 +2}{16*x0^{2}+8*x0+1}*dx [/mm]

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{20*x0 + 10*x0 +2}{16*x0^{2}+8*x0+1} [/mm] = f'(x0)

?



Bezug
                
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 So 21.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo

In Teilaufgabe 2) sollst du vermutlich in der Tat die Ableitung an einem beliebigen Punkt nutzen.

Diese stimmt ja mit

[mm] f(x_{0})=\frac{20x_0^2+10x_0+2}{(4x_0+1)^2} [/mm]

Nun nimm dir mal einen beliebigen Berührpunkt [mm] B(x_b|f(x_b)) [/mm] her, an den du die Tangente legst.

Die Steigung dort ist [mm] f(x_{b})=\frac{20x_b^2+10x_b+2}{(4x_b+1)^2} [/mm]

Die y-Koordinate ist
[mm] f(x_{b}=\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1} [/mm]

Damit bleibt nur noch, das n in der Tangente t(x)=mx+n zu bestimmen.

Dazu gilt aber, da die Tangente ja die Steigung [mm] m=f'(x_b) [/mm] hat und durch den Berührpunkt B geht

[mm] $\underbrace{\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1}}_{y_{b}}= \underbrace{\frac{20x_b^2+10x_b+2}{(4x_b+1)^2}}_{f'(x_{b})}\cdot x_{b}+n$ [/mm]

Damit hast du dann also
[mm] n=\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1}-\frac{20x_b^3+10x_b^2+2x_{b}}{(4x_b+1)^2} [/mm]

Und damit dann:

[mm] t(x)=\left(\frac{20x_b^2+10x_b+2}{(4x_b+1)^2}\right)\cdot x+\left(\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1}-\frac{20x_b^3+10x_b^2+2x_{b}}{(4x_b+1)^2}\right) [/mm]

Marius

Bezug
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