matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungDifferentialrechnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Differenzialrechnung" - Differentialrechnung
Differentialrechnung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differentialrechnung: Differential und Tangengl.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 21.06.2015
Autor: smoot

Aufgabe
Gegeben:
f(x) = [mm] \bruch{5*x^{2}+2*x}{4*x+1} [/mm]

Gesucht:
1.) Ableitung
2.) Differential zu jedem Punkt aus dem Definitionsbereich
3.) Tangentengleichung

Zu 1.)

Mittels Quotientenregel:
f'(x) = [mm] \bruch{(20*x^{2}+10*x+2)}{(16*x^{2}+8*x+1)} [/mm]

Bei der 2.) habe ich das Problem, dass ich für die Formel:
df(h) = f'(x0)*h nicht weiß wie ich an einen Punkt x0 komme und was der Faktor h zu bedeuten hat.

und zu der 3.) benötige ich doch ebenfalls den Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen um die Gleichung aufzustellen..

Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 So 21.06.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Gegeben:
>  f(x) = [mm]\bruch{5*x^{2}+2*x}{4*x+1}[/mm]
>  
> Gesucht:
>  1.) Ableitung
>  2.) Differential zu jedem Punkt aus dem
> Definitionsbereich
>  3.) Tangentengleichung
>  Zu 1.)
>  
> Mittels Quotientenregel:
> f'(x) = [mm]\bruch{(20*x^{2}+10*x+2)}{(16*x^{2}+8*x+1)}[/mm]

[mm] $=2\cdot\frac{10x^2+5x+1}{(4x+1)^2}$ [/mm]
[ok]

>  
> Bei der 2.) habe ich das Problem, dass ich für die
> Formel:
>  df(h) = f'(x0)*h nicht weiß wie ich an einen Punkt x0
> komme und was der Faktor h zu bedeuten hat.

[mm] $x_0$ [/mm] ist Element des Definitionsbereichs und h wird vermutlich die 'Entfernung' von [mm] $x_0$ [/mm] sein, so dass [mm] $|x_0-h|\ll [/mm] 1$ gilt.

>
> und zu der 3.) benötige ich doch ebenfalls den
> Schnittpunkt der Tangente mit dem Graphen um die Gleichung
> aufzustellen..

Richtig, die Steigung brauchst Du ebenfalls.

>  
> Danke für eure Hilfe
>  Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  

Gruß,

notinX

Bezug
        
Bezug
Differentialrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 So 21.06.2015
Autor: smoot

Ist es denn überhaupt möglich den Punkt x0 nur aus der vorhandenen Funktionsgleichung zu bestimmen oder ist hier die allgemeine Lösung gesucht:

df = dy = f'(x0) * dx     mit dx = h

dy = [mm] \bruch{20*x0 + 10*x0 +2}{16*x0^{2}+8*x0+1}*dx [/mm]

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{20*x0 + 10*x0 +2}{16*x0^{2}+8*x0+1} [/mm] = f'(x0)

?



Bezug
                
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 So 21.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo

In Teilaufgabe 2) sollst du vermutlich in der Tat die Ableitung an einem beliebigen Punkt nutzen.

Diese stimmt ja mit

[mm] f(x_{0})=\frac{20x_0^2+10x_0+2}{(4x_0+1)^2} [/mm]

Nun nimm dir mal einen beliebigen Berührpunkt [mm] B(x_b|f(x_b)) [/mm] her, an den du die Tangente legst.

Die Steigung dort ist [mm] f(x_{b})=\frac{20x_b^2+10x_b+2}{(4x_b+1)^2} [/mm]

Die y-Koordinate ist
[mm] f(x_{b}=\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1} [/mm]

Damit bleibt nur noch, das n in der Tangente t(x)=mx+n zu bestimmen.

Dazu gilt aber, da die Tangente ja die Steigung [mm] m=f'(x_b) [/mm] hat und durch den Berührpunkt B geht

[mm] $\underbrace{\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1}}_{y_{b}}= \underbrace{\frac{20x_b^2+10x_b+2}{(4x_b+1)^2}}_{f'(x_{b})}\cdot x_{b}+n$ [/mm]

Damit hast du dann also
[mm] n=\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1}-\frac{20x_b^3+10x_b^2+2x_{b}}{(4x_b+1)^2} [/mm]

Und damit dann:

[mm] t(x)=\left(\frac{20x_b^2+10x_b+2}{(4x_b+1)^2}\right)\cdot x+\left(\bruch{5x_b^{2}+2x_b}{4x_b+1}-\frac{20x_b^3+10x_b^2+2x_{b}}{(4x_b+1)^2}\right) [/mm]

Marius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]