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Forum "Differenzialrechnung" - Differenzenquotient
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Differenzenquotient: momentane Änderungsrate
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mi 09.12.2015
Autor: SamGreen

Aufgabe
Die Erdanziehungskraft wirkt auf einen 71 kg schweren Menschen in der Seehöhe h km mit 700 * (1 + h/6370)^(-2) N.

Berechne jeweils die mittlere Änderungsrate und die momentanen Änderungsraten an den Intervallgrenzen

zwischen h = 0 und h = 2,3 km 


Die mittlere Änderungsrate habe ich schon berechnet = -0,2197N
Aber bei der momentane habe ich Schwierigkeiten. Ich freu mich über Tipps und Hilfestellungen.
Danke

 

        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Mi 09.12.2015
Autor: M.Rex

Hallo

Die momentane Äderungsrate ist die Tangentensteigung der Funktion an einer Stelle.

Hier musst du also an den Stellen h=0 und h=2,3 den Wert der Tangentensteigung ermitteln.

Das geht entweder per Grenzwert ode rmit dem Wert der ABleitung, falls ihr diese schon kennt.

Marius

Bezug
                
Bezug
Differenzenquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Mi 09.12.2015
Autor: SamGreen

Aufgabe
<br>
 


Ja und genau das ist mein Problem. Ich weiß, dass ich es mittels Grenzwert machen soll. Aber ich scheitere bereits am Ansatz.
Die Grundlagen sind mir kein Problem.
Ich scheitere mit dieser Formel.
Kanns du mir einen Tipp geben. Danke

Bezug
                        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Mi 09.12.2015
Autor: chrisno


> Die Erdanziehungskraft wirkt auf einen 71 kg schweren Menschen in der Seehöhe h km mit 700 * (1 + h/6370)^(-2) N.

Erst mal schöner schreiben: $F(h) = [mm] 700*\left(1+\br{h}{6370}\right)^2$ [/mm]
Kannst Du das Problem für $f(x) = [mm] \left(1+\br{h}{a}\right)^2$ [/mm] lösen?

Bezug
                                
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mi 09.12.2015
Autor: SamGreen

Ich habe es probiert - d.h. ich löse es mittels ausquadrieren und limes. Aber ich komm nicht auf das richtige Ergebnis: 
-0,2198 N
 

Bezug
                                        
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Mi 09.12.2015
Autor: chrisno

rechne hier vor und stelle das nicht als Mitteilung, sondern als Frage ein.

Bezug
                                        
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Mi 09.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Ich habe es probiert - d.h. ich löse es mittels
> ausquadrieren und limes. Aber ich komm nicht auf das
> richtige Ergebnis: 

Wofür? Die mittlere Änderungsrate? Die momentane am linken Rand? Am rechten Rand?

Gib mehr Infos und deine Rechnung preis, sonst wird das nix. Hier wird nicht vorgerechnet ...


> -0,2198 N
>  

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Differenzenquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mi 09.12.2015
Autor: SamGreen

Aufgabe
<br>
DIe Angabe findet sich eh oben.


<br>Mein Problem ist das hoch (-2)

[mm]F(h) = 700 (1 + \frac{h}{6370}) ^-2 [/mm]
Mittels der Formel für den Differenzenquotienten bzw. der momentanen Änderungsrate schaff ich das nicht zu lösen. 
 

Bezug
                                                        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mi 09.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> <br>
> DIe Angabe findet sich eh oben.

>

> <br>Mein Problem ist das hoch (-2)

>

> [mm]F(h) = 700 (1 + \frac{h}{6370}) ^-2 [/mm]
> Mittels der Formel
> für den Differenzenquotienten bzw. der momentanen
> Änderungsrate schaff ich das nicht zu lösen. 

Hilft das für deine Rechnung?

[mm]\left(1+\frac{h}{6370}\right)^{-2} \ = \ \left(\frac{6370+h}{6370}\right)^{-2} \ = \ \frac{6370^2}{(6370+h)^2}[/mm]

nach den Potenzgesetzen [mm]a^{-m}=\frac{1}{a^m}[/mm] und [mm]%5Cleft(%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5Cright)%5Em%3D%5Cfrac%7Ba%5Em%7D%7Bb%5Em%7D[/mm]

Gruß

schachuzipus 

Bezug
                                                                
Bezug
Differenzenquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Mi 09.12.2015
Autor: SamGreen

Aufgabe
<br>
 


<br>[mm] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (\frac{a}{a+h+\Delta x}) ^2 - (\frac{a}{a+h}) ^2 } {\Delta x} [/mm]
Das hab ich jetzt wenn ich den Differenzenquotienten verwenden. Ich habs zwar probiert zum Ausquadrieren, aber ich komm nicht weiter. 

Bezug
                                                                        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Mi 09.12.2015
Autor: M.Rex

Hallo
> <br>
>  

>

> <br>[mm] \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (\frac{a}{a+h+\Delta x}) ^2 - (\frac{a}{a+h}) ^2 } {\Delta x} [/mm]

>

> Das hab ich jetzt wenn ich den Differenzenquotienten
> verwenden. Ich habs zwar probiert zum Ausquadrieren, aber
> ich komm nicht weiter. 

Lass das "Ausquadrieren" sein

Nehmen wir mal das Beispiel [mm] f(x)=\frac{1}{x^{2}}, [/mm] das übertragen auf deine Funktion überlasse ich dann wieder dir.

Mit dieser Funktion wird der Differenzenquotient
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm]
zu
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{h} [/mm]
Die Brüche im Nenner gleichnamig machen
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}-\frac{(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}}{h} [/mm]
Im Nenner zusammenfassen
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}}{h} [/mm]
Nun die binomische Formel ausmultiplizieren
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{\frac{x^{2}-x^{2}-2xh-h^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}}{h} [/mm]
Zusammenfassen und den Doppelbruch lösen
[mm] \lim\limits_{h\to0}\left(\frac{-2xh-h^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}\cdot\frac{1}{h}\right) [/mm]
Kürzen
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{-2x-h}{x^{2}(x+h)^{2}} [/mm]

Nun kannst du, ohne dass ein Nenner Null wird, den Grenzübergang machen, und h=0 setzen, damit bekommst du
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{-2x-h}{x^{2}(x+h)^{2}} [/mm]
[mm] =\frac{-2x-0}{x^{2}(x+0)^{2}} [/mm]
[mm] =\frac{-2x}{x^{4}} [/mm]
[mm] =\frac{-2}{x^{3}} [/mm]

Nun bist du wieder dran.

Marius

Bezug
                                                                                
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:50 Do 10.12.2015
Autor: SamGreen

Danke, habs geschafft. :-)

Bezug
                                
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Mi 09.12.2015
Autor: SamGreen

Außer dem heißt es hoch -2  und das macht es für mich schwierig!
 

Bezug
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