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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Fr 18.04.2014
Autor: rollroll

Aufgabe
Seien [mm] f_1, f_2, [/mm] ..., [mm] f_n [/mm] differenzierbare Funktionen und sei [mm] \pi:\IR^{n}\to\IR [/mm] eine lineare Abbildung.
Zeige, dass die Funktion [mm] g:\IR\to\IR, x\to\pi((f_1(x),...,f_n(x))) [/mm] differenzierbar ist und berechne g'.


Hallo.

folgt die Differenzierbarkeit nicht unmittelbar aus der Kettenregel der Differenzialrechnung? Wäre g' dann nicht [mm] \pi'*f_1'(x)*...*f_n'(x) [/mm] ?

Differenzialrechnung im [mm] \IR^n [/mm] haben wir eigentlich auch noch gar nicht...

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Fr 18.04.2014
Autor: fred97


> Seien [mm]f_1, f_2,[/mm] ..., [mm]f_n[/mm] differenzierbare Funktionen und
> sei [mm]\pi:\IR^{n}\to\IR[/mm] eine lineare Abbildung.
>  Zeige, dass die Funktion [mm]g:\IR\to\IR, x\to\pi((f_1(x),...,f_n(x)))[/mm]
> differenzierbar ist und berechne g'.
>  
> Hallo.
>  
> folgt die Differenzierbarkeit nicht unmittelbar aus der
> Kettenregel der Differenzialrechnung?

Ja

> Wäre g' dann nicht
> [mm]\pi'*f_1'(x)*...*f_n'(x)[/mm] ?

Das stimmt so nicht !


>  
> Differenzialrechnung im [mm]\IR^n[/mm] haben wir eigentlich auch
> noch gar nicht...


Beachte: es gibt [mm] a_n,...,a_n \in \IR [/mm] mit

[mm] \pi(x_1,...,x_n)=a_1x_1+....+a_nx_n [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Fr 18.04.2014
Autor: rollroll

Danke schon mal!

Wie kann ich denn den Beweis, dass g differenzierbar ist mathematisch korrekt aufschreiben? Es reicht wohl nicht, wenn ich hin schreibe, dass das aus der Kettenregel folgt...

Für die Ableitung bräuchte ich noch einen Tipp. Müsste man noch vor jedes f' das entsprechende [mm] a_i [/mm] schreiben?



Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Fr 18.04.2014
Autor: fred97

[mm] \pi (f_1(x),...,f_n(x))=a_1f_1f(x)+...+a_nf_n(x) [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Fr 18.04.2014
Autor: rollroll

Also: [mm] a_1f_1'(x) [/mm] + ... + [mm] a_nf_n'(x)? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Fr 18.04.2014
Autor: fred97


> Also: [mm]a_1f_1'(x)[/mm] + ... + [mm]a_nf_n'(x)?[/mm]  

Ja

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Fr 18.04.2014
Autor: rollroll

Super!

Und wie kann ich jetzt mathematisch korrekt beweisen, dass g diffbar ist?

Bezug
                                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Fr 18.04.2014
Autor: fred97


> Super!
>  
> Und wie kann ich jetzt mathematisch korrekt beweisen, dass
> g diffbar ist?

Summen und skalare Vielfache differenzierbarer Funktionen sind differenzierbar.

Hattet Ihr das nicht ?

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Fr 18.04.2014
Autor: rollroll

Muss man nicht noch irgendwo berücksichtigen dass es sich um lineare Abbildungen des [mm] IR^n [/mm] handelt?

Bezug
                                                                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Sa 19.04.2014
Autor: fred97


> Muss man nicht noch irgendwo berücksichtigen dass es sich
> um lineare Abbildungen des [mm]IR^n[/mm] handelt?  

Das haben wir doch schon mit



$ [mm] \pi(x_1,...,x_n)=a_1x_1+....+a_nx_n [/mm] $


FRED


Bezug
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