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Differenzierbarkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Do 13.08.2015
Autor: Pi_sner

Aufgabe
Beweisen Sie: Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ [/mm] differenzierbar, dann folgt [mm] $\frac{||f(x+t)-f(x)-f'(x)t||}{||t||}\to [/mm] 0 [mm] (||t||\to [/mm] 0)$ gleichmäßig.

Ich bin hier leider Ideelos. Störe mich sowohl an $-f'(x)t$ im Nenner als auch der geforderten gleichmäßigen Konvergenz. Hat jemand einen Tipp?

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Do 13.08.2015
Autor: tobit09

Hallo Pi_sner!


Leider habe ich gerade nicht viel Zeit, daher nur knapp als erster Input:

- Wenn du das Wort "gleichmäßig" streichst, kannst du die Behauptung relativ direkt aus der Definition der Differenzierbarkeit folgern.

- Ich bin mir nicht hundertprozentig sicher, ob ich den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz hier richtig verstehe: Eigentlich kenne ich ihn nur für Funktionenfolgen, glaube aber, mir die hier passende Definition zusammenreimen zu können.

- Wenn ich damit richtig liege, liefert die Funktion

       [mm] $f\colon\IR\to\IR,\quad f(x)=x^3$ [/mm]

ein Gegenbeispiel zur Behauptung aus der Aufgabenstellung, wie man sich überlegen kann.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:06 Fr 14.08.2015
Autor: fred97


> Beweisen Sie: Sei [mm]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n[/mm]
> differenzierbar, dann folgt
> [mm]\frac{||f(x+t)-f(x)-f'(x)t||}{||t||}\to 0 (||t||\to 0)[/mm]
> gleichmäßig.
>  Ich bin hier leider Ideelos. Störe mich sowohl an [mm]-f'(x)t[/mm]
> im Nenner

Du meinst im Zähler. Aber was stört Dich daran ? Ist $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] so heißt f in x differenzierbar, wenn es eine reelle $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix A gibt mit:

[mm] $\frac{||f(x+t)-f(x)-At||}{||t||} \to [/mm] 0$   [mm] ($||t||\to [/mm] 0$).

In diesem Fall ist A eindeutig bestimmt und wird mit $ f'(x)$ bezeichnet.

Du störst Dich also an einer Definition ......





> als auch der geforderten gleichmäßigen
> Konvergenz. Hat jemand einen Tipp?


Zeigen sollst Du:

Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:

   [mm] $\frac{||f(x+t)-f(x)-f'(x)t||}{||t||}< \varepsilon$ [/mm]  für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und alle $t [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $0<||t||< [mm] \delta$. [/mm]


Wie mein Vorredner Tobias schon gesagt hat, kann man das nicht zeigen, denn es ist falsch ! Tobias hat schon ein Gegenbeispiel genannt. Hier noch eines:

Sei n=1 und [mm] f(x)=e^x. [/mm] Wäre die Beh. richtig, so gäbe es zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit

  [mm] e^x*|\bruch{e^t-1-t}{t}|<1 [/mm]  für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle t [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] 0<|t|<\delta, [/mm]

also

  [mm] |\bruch{e^t-1-t}{t}|
Ist  t [mm] \in \IR [/mm] fest und  [mm] 0<|t|<\delta, [/mm] so bekommt man daraus mit $x [mm] \to \infty$ [/mm] :

[mm] |\bruch{e^t-1-t}{t}|=0. [/mm]

Das ist aber absurd.

FRED

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