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Differenzierbarkeit von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:53 Fr 13.04.2018
Autor: Tobikall

Aufgabe
Aufg. 1)
Zeigen Sie für in [mm] x_{0}\in [/mm] A differenzierbare Fkt. [mm] f_{1},...,f_{n}:A->C, [/mm] dass [mm] p(x)=\produkt_{k=1}^{n}f_{k}(x) [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist mit [mm] p'(x_{0})=\summe_{j=1}^{n}f'_{j}(x_{0})\produkt_{k\not=j}^{}f_{k}(x_{0}) [/mm]

Aufg.2)
Für f:A->C mit [mm] A\subseteq [/mm] C sei [mm] \overline{f(x)} [/mm] die konjugierte Funktion
a) Zeigen Sie für ein [mm] x_{0}\in A\subseteq [/mm] R differenzierbares f, dass [mm] \overline{f} [/mm] in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist mit [mm] \overline{f}'(x)=\overline{f'(x_{0})} [/mm]
b) In welchen Punkten ist f:C->C, z-> [mm] \overline{z} [/mm] differenzierbar?

Aufg. 3)
a)Skizzieren Sie für [mm] z_{0}=1, z_{1}=(1+i)/\wurzel{2} [/mm] jeweils die Mengen A={ [mm] w\in [/mm] C: [mm] z_{k}\perp [/mm] w } und B={ [mm] z_{k}+w: z_{k}\perp [/mm] w }
b) Es seien S={ [mm] z\in C:|z|^2=1 [/mm] } und f:R->S in [mm] x_{0}\in [/mm] R differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann [mm] f(x_{0})\perp f'(x_{0}) [/mm] gilt.





Hallo liebes Forum,

ich bin jetzt ins neue Semester gekommen und unser Prof hat uns Lehrämtlern erstmal viel schwierigere Aufgaben gegeben, als wir bisher hatten.
Bei der 1 und 2 verstehe ich wenigstens den Sinn der Aufgabe, mir fehlt aber der Rechenansatz, und -weg, da wir erst eine einzige Vorlesung zur Ableitungen hatten und das eigentlich nur Krams aus der Schule war.
Bei Nummer 3 hab ich keine Ahnung, was ich rechnen soll, die Definition der Orthogonalität ist mir aber klar?

        
Bezug
Differenzierbarkeit von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Fr 13.04.2018
Autor: fred97


> Aufg. 1)
>  Zeigen Sie für in [mm]x_{0}\in[/mm] A differenzierbare Fkt.
> [mm]f_{1},...,f_{n}:A->C,[/mm] dass [mm]p(x)=\produkt_{k=1}^{n}f_{k}(x)[/mm]
> in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar ist mit
> [mm]p'(x_{0})=\summe_{j=1}^{n}f'_{j}(x_{0})\produkt_{k\not=j}^{}f_{k}(x_{0})[/mm]


Diese Aufgabe ist leicht mit Induktion über n [mm] \ge [/mm] 2 zu erledigen.

Für n=2 ist das die bekannte Produktregel. Damit ist der Induktionsanfang gemacht.

Jetzt Du.


>  
> Aufg.2)
>  Für f:A->C mit [mm]A\subseteq[/mm] C sei [mm]\overline{f(x)}[/mm] die
> konjugierte Funktion
>  a) Zeigen Sie für ein [mm]x_{0}\in A\subseteq[/mm] R
> differenzierbares f, dass [mm]\overline{f}[/mm] in [mm]x_{0}[/mm]
> differenzierbar ist mit
> [mm]\overline{f}'(x)=\overline{f'(x_{0})}[/mm]

Das ist doch falsch ! in b) hast Du doch ein Gegenbeispiel. Die Funktion h(z)=z ist in jedem z [mm] \in \IC [/mm] diferenzierbar.


Die Funktion  $z [mm] \to \overline{z}$ [/mm] ist aber in keinem z [mm] \in \IC [/mm] differenzierbar.


>  b) In welchen Punkten ist f:C->C, z-> [mm]\overline{z}[/mm]

> differenzierbar?
>  
> Aufg. 3)
>  a)Skizzieren Sie für [mm]z_{0}=1, z_{1}=(1+i)/\wurzel{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> jeweils die Mengen A={ [mm]w\in[/mm] C: [mm]z_{k}\perp[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

w } und B={

> [mm]z_{k}+w: z_{k}\perp[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

w }

>  b) Es seien S={ [mm]z\in C:|z|^2=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} und f:R->S in [mm]x_{0}\in[/mm] R


Was ist R ? Ist R= [mm] \IR [/mm] ??


> differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann [mm]f(x_{0})\perp f'(x_{0})[/mm]
> gilt.
>  
>
>
>
> Hallo liebes Forum,
>  
> ich bin jetzt ins neue Semester gekommen und unser Prof hat
> uns Lehrämtlern erstmal viel schwierigere Aufgaben
> gegeben, als wir bisher hatten.
>  Bei der 1 und 2 verstehe ich wenigstens den Sinn der
> Aufgabe, mir fehlt aber der Rechenansatz, und -weg, da wir
> erst eine einzige Vorlesung zur Ableitungen hatten und das
> eigentlich nur Krams aus der Schule war.
>  Bei Nummer 3 hab ich keine Ahnung, was ich rechnen soll,
> die Definition der Orthogonalität ist mir aber klar?

Wie lautet denn diese Def. ? Diese Aufgabe ist sehr einfach.


Bezug
                
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Differenzierbarkeit von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Fr 13.04.2018
Autor: Tobikall

zu 1)
also:
IA: n=2 daraus folgt, dass [mm] p'(x_{0})=f_{1}'(x)*f_{2}(x)+f_{1}(x)*f_{2}'(x) [/mm]
IV: nehme an, dass die Behauptund für [mm] n\in [/mm] N gelte, zeige dass sie es auch für n->n+1 tut
IS: hier muss man doch jetzt zeigen, dass
$ [mm] p'(x_{0})=\summe_{j=1}^{n+1}f'_{j}(x_{0})\produkt_{k\not=j}^{}f_{k}(x_{0}) [/mm] $ gilt, nur hänge ich halt hier fest, da mir der richtige Ansatz fehlt, wohin ich das n+1 einsetzen kann?

zu 2)
a) sicher, dass das falsch ist, da [mm] x_{0} [/mm] ja in [mm] \IR [/mm] liegt und somit müsste es doch eine Lösung geben?

zu 3)
ja mit R meine ich [mm] \IR [/mm]
die Orthogonalität gibt ja an, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, dass heißt in diesem Fall glaube ich, dass der Realteil von [mm] z\overline{w}=0 [/mm] sein muss, hat uns der Prof als Tipp gegeben, nur wie kann ich das hier ausrechnen

Bezug
                        
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Differenzierbarkeit von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Fr 13.04.2018
Autor: fred97


> zu 1)
>  also:
> IA: n=2 daraus folgt, dass
> [mm]p'(x_{0})=f_{1}'(x)*f_{2}(x)+f_{1}(x)*f_{2}'(x)[/mm]
>  IV: nehme an, dass die Behauptund für [mm]n\in[/mm] N gelte, zeige
> dass sie es auch für n->n+1 tut
>  IS: hier muss man doch jetzt zeigen, dass
> [mm]p'(x_{0})=\summe_{j=1}^{n+1}f'_{j}(x_{0})\produkt_{k\not=j}^{}f_{k}(x_{0})[/mm]
> gilt, nur hänge ich halt hier fest, da mir der richtige
> Ansatz fehlt, wohin ich das n+1 einsetzen kann?

Ist p(x)= [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}f_k(x), [/mm] so schreibe

[mm] p(x)=q(x)f_{n+1}(x), [/mm] wobei q(x)= [mm] \produkt_{k=1}^{n}f_k(x). [/mm]

Auf q kannst Du die IV loslassen.


>  
> zu 2)
>  a) sicher, dass das falsch ist, da [mm]x_{0}[/mm] ja in [mm]\IR[/mm] liegt
> und somit müsste es doch eine Lösung geben?

Ups, das hatte ich überlesen: A [mm] \subset \IR, [/mm] Pardon !

Mit [mm] $x_0, [/mm] h [mm] \in \IR$ [/mm] haben wir

[mm] \frac{ \overline{f}(x_0+h)-\overline{f}(x_0)}{h}=\overline{\left( \frac{ f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \right)} \to \overline{f'(x_0)} [/mm]  für h [mm] \to [/mm] 0.


>  
> zu 3)
>  ja mit R meine ich [mm]\IR[/mm]
>  die Orthogonalität gibt ja an, dass zwei Vektoren
> senkrecht zueinander stehen, dass heißt in diesem Fall
> glaube ich, dass der Realteil von [mm]z\overline{w}=0[/mm] sein
> muss, hat uns der Prof als Tipp gegeben, nur wie kann ich
> das hier ausrechnen

Ich verstehe Dein Problem nicht !


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Differenzierbarkeit von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Fr 13.04.2018
Autor: Tobikall

Ok, vielen Dank schonmal Nummer 1 und 2 hab ich schonmal verstanden und gelöst :)

zu 3)
bei der Aufgabe habe ich leider wirklich keinen Plan davon, was genau ich berechnen oder anschließend zeichnen soll, bei Menge A sind wahrscheinlich alle Vektoren w gemeint, die senkrecht zu z liegen, nur wie bekommt man das heraus?
Und bei der b finde ich auch keinen Ansatz

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Differenzierbarkeit von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Fr 13.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> zu 3)
> bei der Aufgabe habe ich leider wirklich keinen Plan
> davon, was genau ich berechnen oder anschließend zeichnen
> soll, bei Menge A sind wahrscheinlich alle Vektoren w
> gemeint, die senkrecht zu z liegen, nur wie bekommt man das
> heraus?

Verabschiede dich besser vom Begriff 'Vektor', wenn du mit komplexen Zahlen arbeitest. Da gibt es zwar viele Zusammenhänge, da man [mm] \IC [/mm] als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] auffassen kann. Da [mm] \IC [/mm] selbst aber bekanntlich ein Körper ist, erfasst man mit einer solchen Auffassung immer nur Teilaspekte.

Bei Teilaufgabe a) kommt ja nicht umsonst das Wort jeweils in der Aufgabenstellung vor. Das ist so gemeint, dass es sich jeweils mit [mm] z_0 [/mm] und [mm] z_1 [/mm] um Teilaufgaben handelt, die jeweils für sich zu bearbeiten sind.

Also mit der Menge A geht das doch ganz einfach los. 1 ist reell. Wo liegt dann die 1 von der 0 aus gesehen? Und welche Menge steht jetzt auf dieser Richtung wohl senkrecht? Da gibt es eigentlich nichts zu rechnen, das kann man direkt angeben (auch für [mm] z_1, [/mm] zeichne [mm] z_1 [/mm] in die Gauß'sche Ebene ein! Welchen Winkel bildet [mm] z_1 [/mm] mit der reellen Achse?).

Bei der Menge B musst du jetzt zunächst die ermittelten Mengen A heranziehen und dir überlegen, auf welchem Ort die Summe von [mm] z_0 [/mm] bzw. [mm] z_1 [/mm] zusammen mit den Elementen A bzw. B liegen.

Hier hilft jetzt in der Tat die geometrische Deutung der Addition in den aus der Schulzeit her bekannten Koordinatenräumen.

Für die Zahl [mm] z_0 [/mm] ist das hier wieder sehr einfach, für [mm] z_1 [/mm] solltet ihr gelernt haben, wie man in [mm] \IC [/mm] generell Geraden beschreiben kann.

> Und bei der b finde ich auch keinen Ansatz

Überlege dir, wie die Darstellung der Funktionswerte in der trigonometrischen Form aussehen muss und lasse darauf die Definition der Ableitung los.

Das Resultat muss man nun noch verstehen. Man kann mit geometrischen Überlegungen darauf kommen, dass die Behauptung damit gezeigt wird. Noch einfacher wird es jedoch mit folgendem Tipp, den  du dir unbedingt merken solltest:

Die Multiplikation einer komplexen Zahl [mm] z\ne{0} [/mm] mit der imaginären Einheit i dreht die betreffende Zahl in der Gaußschen Ebene um den Winkel [mm]\pi/2[/mm] in positiver Drehrichtung. Es ist also für [mm] z\ne{0} [/mm] generell [mm] z\perp{i*z}. [/mm]


Gruß, Diophant

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Differenzierbarkeit von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Fr 13.04.2018
Autor: Tobikall

Oh ja, die b ist voll einfach, mich hat einfach nur das [mm] z_{0} [/mm] und [mm] z_{1} [/mm] total verwirrt :).

bei der c bin ich mir aber noch etwas unsicher:
[mm] |z|^2=1 [/mm] besagt ja, dass die Funktion genau in diesen einzelnen Bereich abbildet, aber die Ableitung senkrecht dazu sein muss.
Dass die Multiplikation mit i den Winkel um 90 Grad verschiebt und dass dies bei der Ableitung geschehen muss ist mir auch klar, nur weiß ich nicht genau was ich in die Ableitungsdefinition einsetzen soll, also was genau mein [mm] f(x_{0}) [/mm] ist



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Differenzierbarkeit von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Fr 13.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Oh ja, die b ist voll einfach, mich hat einfach nur das
> [mm]z_{0}[/mm] und [mm]z_{1}[/mm] total verwirrt :).

>

Es wäre im Sinne dieses Forums nicht die schlechteste Idee gewesen, deine Lösungen auch zu posten.

> bei der c bin ich mir aber noch etwas unsicher:
> [mm]|z|^2=1[/mm] besagt ja, dass die Funktion genau in diesen
> einzelnen Bereich abbildet, aber die Ableitung senkrecht
> dazu sein muss.

Ich glaube, dein Problem besteht darin, dass dir nicht klar ist, welche Menge durch

[mm] \left\vert z \right\vert^2=1[/mm]

gegeben ist. Das ist der Einheitskreis in der Gauß'schen Ebene!

> Dass die Multiplikation mit i den Winkel um 90 Grad
> verschiebt und dass dies bei der Ableitung geschehen muss
> ist mir auch klar, nur weiß ich nicht genau was ich in die
> Ableitungsdefinition einsetzen soll, also was genau mein
> [mm]f(x_{0})[/mm] ist

Wie ich schon sagte: mache dir klar, wie die trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl aussieht, die auf dem Einheitskreis liegt.

Wie genau dein [mm] f(x_0) [/mm] aussieht, das weißt du gar nicht, da keine konkrete Funktion gegeben ist. Wir wissen ja nur, dass f vom Typ [mm] \IR\to\IC [/mm] ist (und das ist hier an dieser Stelle vermutlich sehr wichtig).

Ich sag es jetzt nochmal:

- wie sieht die trigonometrische Form von komplexen Zahlen allgemein aus?
- und wie sieht das im Speziellen aus für Zahlen auf dem Einheitskreis (welchen Betrag haben solche Zahlen)?

Das einzige, was an dieser Aufgabe verwirrend ist ist das Quadrat. Denn es ist offensichtlich

[mm] \left\vert z \right\vert^2=1\ \gdw\ \left\vert z \right\vert=1[/mm]

Vielleicht hilft das ja deiner Anschauung auf die Sprünge...


Gruß, Diophant

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Differenzierbarkeit von Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Fr 13.04.2018
Autor: Tobikall

Also,...

man kann ja z=x+iy setzen und mit Winkeln ausgedrückt ist [mm] z=|z|(cos\alpha+i*sin\alpha) [/mm]
Da [mm] |z|^2=|z|=1 [/mm] ist haben alle Werte den Abstand 1 zum Koordinatenursprung, was dann dein beschriebener Einheitskreis ist.
Nur weiß ich jetzt noch immer nicht, wie man davon auf die Orthogonalität der Funktion und deren Ableitung schließen kann, daran hängt es bei mir :/

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Differenzierbarkeit von Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Fr 13.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

du musst die Dinge weiterdenken und nicht immer gleich wieder aufgeben.

Wir wissen jetzt, dass alle Werte der Funktion f die Gestalt

[mm] f(x_0)=cos(u)+i*sin(u) [/mm]

besitzen, wobei u reell ist(warum?).

Flapsig gesagt könnte man jetzt einfach ableiten und sich das Ergebnis betrachten, bis man draufkommt, was es bedeutet.

Nur, da würde man die Faktorregel auf einen komplexen Faktor anwenden. Das darf man zwar, aber es steht dir vermutlich noch nicht zur Verfügung.

Also verwende jetzt die Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten und benutze dabei bekannte Ableitungen.


Gruß, Diophant

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Differenzierbarkeit von Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:37 Fr 13.04.2018
Autor: Tobikall

Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!
, dass ich so oft nachfrage liegt daran, dass ich halt erst eine Vorlesung hatte und sonst noch gar nicht richtig im Thema drin war.

u muss ja reell sein, da z ja aus einem Realteil und Imaginärteil besteht und sonst wäre das ja nicht erfüllt, oder?
Wenn ich das jetzt in [mm] f(x)-f(x_{0})/(x-x_{0}) [/mm] einsetze, kommt dann auch die Orthogonalität raus, also müsste [mm] f'(x_{0})=-sin(u)+i*cos(u) [/mm] sein.

Bezug
                                                                                        
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Differenzierbarkeit von Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Sa 14.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!

Gerne.

> , dass ich so oft nachfrage liegt daran, dass ich halt
> erst eine Vorlesung hatte und sonst noch gar nicht richtig
> im Thema drin war.

Unbedingt flankierend Literatur studieren (Skript und/oder Lehrbücher).

> u muss ja reell sein, da z ja aus einem Realteil und
> Imaginärteil besteht und sonst wäre das ja nicht
> erfüllt, oder?

Das war vielleicht eine etwas zu weit führende Frage. Die ganzen transzendenten Funktionen werden ja dann auch irgendwann auf ganz [mm] \IC [/mm] oder größtmöglichen Teilmengen davon definiert, so auch Sinus und Kosinus.

Aber hier folgt es aus der Tatsache, dass die Funktionswerte alle auf einem Kreis um 0 liegen. Dazu würde - sofern die Funktion surjektiv ist - u auf jeden Fall alle Werte aus [mm] [0;2\pi) [/mm] annehmen.

> Wenn ich das jetzt in [mm]f(x)-f(x_{0})/(x-x_{0})[/mm] einsetze,
> kommt dann auch die Orthogonalität raus, also müsste
> [mm]f'(x_{0})=-sin(u)+i*cos(u)[/mm] sein.

Ja. Ich würde das allerdins mit der sog. 'h-Methode' machen, aber es ist Geschmacksache. Und wenn du die fragliche Behauptung jetzt noch schön zeigen möchtest, dann klammere jetzt noch i aus:

[mm]f'(x_0)=-sin(u)+i*cos(u)=i*(cos(u)+i*sin(u))=i*f(x_0)[/mm]

Es ist ein elementares, aber bemerkenswertes und wichtiges Resultat, das man sich merken sollte!


Gruß, Diophant

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