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Differenzierbarkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 So 16.07.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo zusammen,

ich stehe vor einem neuen Problem:

Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:
1.) $f$ ist diff'bar auf [mm] $\IR \backslash \{a\}$ [/mm] für ein $a [mm] \in \IR$. [/mm]
2.) Es existiert [mm] $\limes_{x \uparrow a} [/mm] f'(x) = [mm] \gamma$. [/mm]

Behauptung: f diff'bar in a mit $f'(a) = [mm] \gamma$. [/mm]

Ich habe einen Beweis erstellt, aber frage mich, ob der so richtig ist.

Beweis:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und zunächst $h [mm] \in \IR, [/mm] \ x [mm] \in \IR \backslash \{a\}$. [/mm]
Es gilt:

[mm] $\left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \gamma \right [/mm] | [mm] \le \left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \right [/mm] | + [mm] \left | \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - f'(x) \right [/mm] | + [mm] \left | f'(x) - \gamma \right [/mm] |$.

1.) Aus [mm] $\limes_{x \uparrow a} [/mm] f'(x) = [mm] \gamma$ [/mm] folgt: [mm] $\exists [/mm] \ [mm] \delta [/mm] > 0 : \ [mm] \forall [/mm] \ x [mm] \in [/mm] (a - [mm] \delta, [/mm] a): [mm] \left | f'(x) - \gamma \right [/mm] | < [mm] \frac{\epsilon}{2}$ [/mm]

2.) [mm] $\forall [/mm] \ x [mm] \in [/mm] (a - [mm] \delta, [/mm] a)$ ist f diff'bar in $x$: [mm] $\exists [/mm] \ [mm] \delta' [/mm] > 0 : \ [mm] \forall [/mm] \ h [mm] \in (-\delta', \delta'): \left | \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - f'(x) \right [/mm] | < [mm] \frac{\epsilon}{2}$ [/mm]

Damit folgt:

[mm] $\left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \gamma \right [/mm] | < [mm] \left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \right [/mm] | + [mm] \epsilon, \quad \forall [/mm] \ x [mm] \in [/mm] (a - [mm] \delta, [/mm] a), h [mm] \in (-\delta', \delta')$. [/mm]

Nun ist $f$ stetig und es folgt mit [mm] $\delta \downarrow [/mm] 0$:

[mm] $\left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \gamma \right [/mm] | < [mm] \epsilon$ [/mm] für $h [mm] \in (-\delta', \delta')$. [/mm]

Passt das so?

Grüße
Die_Suedkurve

        
Bezug
Differenzierbarkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 So 16.07.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich stehe vor einem neuen Problem:
>  
> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] eine Funktion mit den folgenden
> Eigenschaften:
>  1.) [mm]f[/mm] ist diff'bar auf [mm]\IR \backslash \{a\}[/mm] für ein [mm]a \in \IR[/mm].
>  
> 2.) Es existiert [mm]\limes_{x \uparrow a} f'(x) = \gamma[/mm].
>  
> Behauptung: f diff'bar in a mit [mm]f'(a) = \gamma[/mm].
>  
> Ich habe einen Beweis erstellt, aber frage mich, ob der so
> richtig ist.
>  
> Beweis:
>  Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] und zunächst [mm]h \in \IR, \ x \in \IR \backslash \{a\}[/mm].
>  
> Es gilt:
>  
> [mm]\left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \gamma \right | \le \left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \right | + \left | \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - f'(x) \right | + \left | f'(x) - \gamma \right |[/mm].
>  
> 1.) Aus [mm]\limes_{x \uparrow a} f'(x) = \gamma[/mm] folgt: [mm]\exists \ \delta > 0 : \ \forall \ x \in (a - \delta, a): \left | f'(x) - \gamma \right | < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
>  
> 2.) [mm]\forall \ x \in (a - \delta, a)[/mm] ist f diff'bar in [mm]x[/mm]:
> [mm]\exists \ \delta' > 0 : \ \forall \ h \in (-\delta', \delta'): \left | \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - f'(x) \right | < \frac{\epsilon}{2}[/mm]
>  
> Damit folgt:
>  
> [mm]\left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \gamma \right | < \left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \right | + \epsilon, \quad \forall \ x \in (a - \delta, a), h \in (-\delta', \delta')[/mm].
>  
> Nun ist [mm]f[/mm] stetig und es folgt mit [mm]\delta \downarrow 0[/mm]:
>  
> [mm]\left | \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - \gamma \right | < \epsilon[/mm]
> für [mm]h \in (-\delta', \delta')[/mm].
>  
> Passt das so?

nein. dein [mm] \delta' [/mm] hängt von x ab.

Verwende den Mittelwertsatz


>  
> Grüße
>  Die_Suedkurve


Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 So 16.07.2017
Autor: Die_Suedkurve

Hallo fred,

du hast recht. Ich habe die Aussage auch nochmal überarbeitet, weil ich vergessen habe, die Stetigkeit von f in a vorauszusetzen.

Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

1.) f diff'bar auf [mm] $\IR \backslash \{ a \}$. [/mm]

2.) [mm] $\exists [/mm] \ [mm] \limes_{x \downarrow a} [/mm] f'(x) =: [mm] \gamma_{a+}$ [/mm] oder [mm] $\limes_{x \uparrow a} [/mm] f'(x) =: [mm] \gamma_{a-}$ [/mm]

3.) f stetig in a.

Dann ist f diff'bar in a mit $f'(a) = [mm] \gamma_{a+} [/mm] = [mm] \gamma_{a-}$. [/mm]

Beweis:

Wir betrachten den Fall, dass [mm] $\limes_{x \downarrow a} [/mm] f'(x) = [mm] \gamma_{a+} [/mm] =: [mm] \gamma$ [/mm] existiert.
Sei $h > 0$. [mm] $f_{| [a, a+h]}$ [/mm] ist stetig und auf $(a, a+h)$ diff'bar.

[mm] $\mbox{Mittelwertsatz} \Rightarrow \exists [/mm] \ [mm] x_h \in [/mm] (a, a+h): [mm] f'(x_h) [/mm] = [mm] \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \gamma [/mm] = [mm] \limes_{h \downarrow 0} f'(x_h) [/mm] = [mm] \limes_{h \downarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ [/mm]

Weiterhin ist [mm] $f_{| [a-h, a]}$ [/mm] stetig und auf $(a-h,a)$ diff'bar.

[mm] $\mbox{Mittelwertsatz} \Rightarrow \exists [/mm] \ [mm] x_h \in [/mm] (a-h, a): [mm] f'(x_h) [/mm] = [mm] \frac{f(a) - f(a-h)}{h} [/mm] = [mm] \frac{f(a-h) - f(a)}{-h}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \gamma [/mm] = [mm] \limes_{h \downarrow 0} f'(x_h) [/mm] = [mm] \limes_{h \downarrow 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} [/mm] = [mm] \limes_{h \uparrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ [/mm]

Damit sind links- und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten gleich und somit ist f in a diff'bar.

Ist das richtig?

Grüße
Die_Suedkurve

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:28 Mo 17.07.2017
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> du hast recht. Ich habe die Aussage auch nochmal
> überarbeitet, weil ich vergessen habe, die Stetigkeit von
> f in a vorauszusetzen.
>  
> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] eine Funktion mit den folgenden
> Eigenschaften:
>  
> 1.) f diff'bar auf [mm]\IR \backslash \{ a \}[/mm].
>  
> 2.) [mm]\exists \ \limes_{x \downarrow a} f'(x) =: \gamma_{a+}[/mm]
> oder [mm]\limes_{x \uparrow a} f'(x) =: \gamma_{a-}[/mm]
>  
> 3.) f stetig in a.
>  
> Dann ist f diff'bar in a mit [mm]f'(a) = \gamma_{a+} = \gamma_{a-}[/mm].
>  
> Beweis:
>  
> Wir betrachten den Fall, dass [mm]\limes_{x \downarrow a} f'(x) = \gamma_{a+} =: \gamma[/mm]
> existiert.
>  Sei [mm]h > 0[/mm]. [mm]f_{| [a, a+h]}[/mm] ist stetig und auf [mm](a, a+h)[/mm]
> diff'bar.
>  
> [mm]\mbox{Mittelwertsatz} \Rightarrow \exists \ x_h \in (a, a+h): f'(x_h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \gamma = \limes_{h \downarrow 0} f'(x_h) = \limes_{h \downarrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/mm]
>  
> Weiterhin ist [mm]f_{| [a-h, a]}[/mm] stetig und auf [mm](a-h,a)[/mm]
> diff'bar.
>  
> [mm]\mbox{Mittelwertsatz} \Rightarrow \exists \ x_h \in (a-h, a): f'(x_h) = \frac{f(a) - f(a-h)}{h} = \frac{f(a-h) - f(a)}{-h}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \gamma = \limes_{h \downarrow 0} f'(x_h) = \limes_{h \downarrow 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} = \limes_{h \uparrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/mm]
>  
> Damit sind links- und rechtsseitiger Grenzwert des
> Differenzenquotienten gleich und somit ist f in a
> diff'bar.
>  
> Ist das richtig?


ja



>  
> Grüße
>  Die_Suedkurve


Bezug
                                
Bezug
Differenzierbarkeit zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Mo 17.07.2017
Autor: Die_Suedkurve

Danke für deine Hilfe!

Grüße
Die_Suedkurve

Bezug
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