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Diffgl Substituieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Do 19.01.2006
Autor: stevarino

Hallo

Hab hier folgendes Problem

y"=- [mm] \bruch{y'^{2}}{5y} [/mm]

wie Substituier ich hier richtig  y'=z(x)

z'=- [mm] \bruch{z^{2}}{5y} [/mm] wie bekomm ich y ich kann das y ja nicht direkt durch integration aus y' berechnen?

wahrscheinlich ist das sowieso wieder der falsche Weg aber wie gehts richtig


Danke

lg Stevo

        
Bezug
Diffgl Substituieren: z=z(y)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Do 19.01.2006
Autor: MathePower

Hallo stevarino,

> Hallo
>  
> Hab hier folgendes Problem
>  
> y"=- [mm]\bruch{y'^{2}}{5y}[/mm]
>  
> wie Substituier ich hier richtig  y'=z(x)


>  
> z'=- [mm]\bruch{z^{2}}{5y}[/mm] wie bekomm ich y ich kann das y ja
> nicht direkt durch integration aus y' berechnen?
>  
> wahrscheinlich ist das sowieso wieder der falsche Weg aber

Mit dem Ansatz bist Du auf dem richtigen Weg.

> wie gehts richtig

Die Substitution lautet korrekt:

[mm]y'\; = \;z(y\left( x \right))[/mm]

Dann ist gemäß Kettenregel

[mm]y''\; = \;z'(y)\;y'\; = \;z'\;z[/mm]

Dies setzt Du jetzt in die DGL ein:

[mm] \begin{gathered} y''\; = \; - \frac{{y'^2 }} {{5\;y}} \hfill \\ \Leftrightarrow \;z'\;z\; = \; - \;\frac{{z^2 }} {{5\;y}} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Hier erhält man als Lösung eine Funktion z=z(y).

Nun macht man die Substitution wieder rückgängig, das heisst es ist die DGL [mm]y'\; = \;z(y)[/mm] zu lösen um y=y(x) zu erhalten.

Gruß
MathePower







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