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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Dimension Beweis
Dimension Beweis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dimension Beweis: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Mo 01.06.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und V ein K-Vektorraum der Dimension n. Seien [mm] U_{1}, [/mm] . . . , [mm] U_{k} [/mm] K-Untervektorräume von V mit [mm] dim(U_{i}) [/mm] = n − 1, (i = 1, . . . , k). Beweisen Sie die Ungleichung:

[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k}) [/mm] ≥ n − k.

Kann mir jemand mit dem Beweis helfen bzw. ein Ansatz zeigen ? Danke im voraus.

        
Bezug
Dimension Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mo 01.06.2015
Autor: tobit09

Hallo rsprsp!


Führe eine Induktion nach k durch.

Im Induktionsschritt kann die Dimensionsformel für Untervektorräume nützlich sein...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Dimension Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:07 Di 02.06.2015
Autor: rsprsp

Also ich habe
[mm] dim(U_{i}) [/mm] = n-1, {i,...,k} und
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k}) [/mm] ≥ n − k

i.A. k=1
[mm] dim(U_{1}) [/mm] = n-1 und

[mm] dim(U_{1}) [/mm] ≥ n−1

Wie man sieht sind die Gleichungen identisch.

i.V.
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k}) [/mm] ≥ n − k
i.S k+1
[mm] dim(U_{1} [/mm] ∩ . . . ∩ [mm] U_{k} [/mm] ∩ [mm] U_{k+1}) [/mm] ≥ n − k + 1 und [mm] dim(U_{i}) [/mm] = n-1, {i,...,k,k+1}


Kannst du mir zeigen wies weiter geht und wie ich die Dimensionsformel anwenden soll ?

Bezug
                        
Bezug
Dimension Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:46 Di 02.06.2015
Autor: angela.h.b.


> Also ich habe
>  [mm]dim(U_{i})[/mm] = n-1, {i,...,k} und
>  [mm]dim(U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k})[/mm] ≥ n − k
>  
> i.A. k=1
>  [mm]dim(U_{1})[/mm] = n-1 und
>  
> [mm]dim(U_{1})[/mm] ≥ n−1
>
> Wie man sieht sind die Gleichungen identisch.
>  
> i.V.
>  [mm]dim(U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k})[/mm] ≥ n − k
>  i.S k+1
>  [mm]dim(U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k}[/mm] ∩ [mm]U_{k+1})[/mm] ≥ n − [mm] \red{(}k [/mm] + 1 [mm] \red{)} [/mm]
> und [mm]dim(U_{i})[/mm] = n-1, {i,...,k,k+1}
>  
>
> Kannst du mir zeigen wies weiter geht und wie ich die
> Dimensionsformel anwenden soll ?

Hallo,

beachte die eingefügte Klammer.

Kennst Du denn die Dimensionsformel? Wie lautet sie?
Nimm dann [mm] V_1:=[/mm] [mm](U_{1}[/mm] ∩ . . . ∩ [mm]U_{k}[/mm]) und [mm] V_2:=U_{k+1}. [/mm]

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Dimension Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Di 02.06.2015
Autor: rsprsp

Die Dimensionsformel lautet:

[mm] dim(v_{1}+v_{2}) [/mm] = [mm] dim(v_{1})+dim(v_{2})-dim(v_{1} \cap v_{2}) [/mm]

Also wenn jetzt
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] (U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k}) [/mm]
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] U_{k+1} [/mm]


[mm] dim((U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k})+U_{k+1}) [/mm] = [mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k}) [/mm] + [mm] dim(U_{k+1}) [/mm] - [mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k} \cap U_{k+1}) [/mm]

Ich weiß jetzt, dass
[mm] dim(U_{k+1}) [/mm] = n-1,
da es nach [mm] dim(U_{i}) [/mm] = n-1, i=(1,...,k+1) gelten muss.
Zusätzlich ist:
[mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k}) \ge [/mm] n-k

Ich weiß aber nicht womit ich jetzt [mm] dim((U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k})+U_{k+1}) [/mm]  oder [mm] dim(U_{1} \cap [/mm] ... [mm] \cap U_{k} \cap U_{k+1}) [/mm] ersetzen soll damit die Ungleichung eindeutig bewiesen ist.
Kannst du weiterhelfen ?

Gruß



Bezug
                                        
Bezug
Dimension Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Di 02.06.2015
Autor: angela.h.b.


> Die Dimensionsformel lautet:
>  
> [mm]dim(v_{1}+v_{2})[/mm] = [mm]dim(v_{1})+dim(v_{2})-dim(v_{1} \cap v_{2})[/mm]
>  
> Also wenn jetzt
>  [mm]v_{1}[/mm] = [mm](U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k})[/mm]
>  [mm]v_{2}[/mm] = [mm]U_{k+1}[/mm]
>  
>
> [mm]dim((U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k})+U_{k+1})[/mm] = [mm]dim(U_{1} \cap[/mm]
> ... [mm]\cap U_{k})[/mm] + [mm]dim(U_{k+1})[/mm] - [mm]dim(U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k} \cap U_{k+1})[/mm]
>  
> Ich weiß jetzt, dass
>  [mm]dim(U_{k+1})[/mm] = n-1,
>  da es nach [mm]dim(U_{i})[/mm] = n-1, i=(1,...,k+1) gelten muss.
>  Zusätzlich ist:
>  [mm]dim(U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k}) \ge[/mm] n-k
>  
> Ich weiß aber nicht womit ich jetzt [mm]dim((U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k})+U_{k+1})[/mm]  

Hallo,

an dieser Stelle solltest Du ansetzen: überlege Dir, welche Dimensionen für [mm] (U_{1} \cap[/mm] [/mm] ... [mm][mm] \cap U_{k})+U_{k+1} [/mm] überhaupt nur infrage kommen.

LG Angela



> oder [mm]dim(U_{1} \cap[/mm] ... [mm]\cap U_{k} \cap U_{k+1})[/mm]
> ersetzen soll damit die Ungleichung eindeutig bewiesen
> ist.
>  Kannst du weiterhelfen ?
>  
> Gruß
>  
>  


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