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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Dimension, Span
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Dimension, Span: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:16 Di 16.01.2007
Autor: pleaselook

Aufgabe
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 1\\1}, v_2=\vektor{1\\3\\1} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{1\\2\\\alpha^2} [/mm]
Ich soll zeigen, dass [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R: [mm] dim(span(v_1, v_2, v_3))\ge [/mm] 2 stimmt.

Ich habe bereits festgestellt, dass für [mm] \alpha\not=\pm [/mm] 1 die drei Vektoren linearunabh. sind und eine Basis des [mm] R^3 [/mm] bilden.
Wie kann ich nun diese Ausage überprüfen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Dimension, Span: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Di 16.01.2007
Autor: angela.h.b.


> [mm]v_1=\vektor{1 \\ 1\\1}, v_2=\vektor{1\\3\\1}[/mm] und
> [mm]v_3=\vektor{1\\2\\\alpha^2}[/mm]
>  Ich soll zeigen, dass [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] R: [mm]dim(span(v_1, v_2, v_3))\ge[/mm]
> 2 stimmt.
>  Ich habe bereits festgestellt, dass für [mm]\alpha\not=\pm[/mm] 1
> die drei Vektoren linearunabh. sind und eine Basis des [mm]R^3[/mm]
> bilden.
>  Wie kann ich nun diese Ausage überprüfen.

Hallo,

wie hast Du diese Aussage denn festgestellt?

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Dimension, Span: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Di 16.01.2007
Autor: pleaselook

Gleichungssystem aufgestellt und geschaut, wann nur die triviale Lösung r=s=t=0 existiert.
[mm] v_1=\vektor{1\\2\\1} [/mm] läßt sich als Linearkombination durch die anderen beiden darstellen. Für alle anderen [mm] \alpha^2 [/mm] gehts nicht.
[mm] \Rightarrow [/mm] Basis.
Oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
Dimension, Span: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Di 16.01.2007
Autor: angela.h.b.


> Gleichungssystem aufgestellt und geschaut, wann nur die
> triviale Lösung r=s=t=0 existiert.

Das ist doch schon der Beweis!
Du bekommst so heraus: die Vektoren sind linear unabhängig für [mm] a^2\not=1. [/mm]

Als nächstes untersuchst du noch a=1 und a=-1 und bestimmst hier den Span der drei Vektoren.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Dimension, Span: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Di 16.01.2007
Autor: pleaselook

Gut ich stelle also fest das [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Ist es richtig das dann [mm] dim(span(v_1,v_2))=2 [/mm] und [mm] dim(span(v_1,v_2,v_3))=3. [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Dimension, Span: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Di 16.01.2007
Autor: GorkyPark

Hallo!

Es stimmt!

Falls, [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] lin. unabh. sind, dann ist die Dimension des span [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] sicherlich einmal 2!

Falls [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] lin. unabh. sind (und das ist ja der Fall, wenn [mm] a\not=1 [/mm] bzw. [mm] a\not=-1 [/mm] ist), dann beträgt die Dimension des span 3!

(Das [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} \IR^{3} [/mm] erzeugen ist ja offensichtlich.)

Bezug
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