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Dirac-Delta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Do 19.05.2016
Autor: Paivren

Tag zusammen,

wie kann man die folgende Eigenschaft der Dirac-Delta-"Funktion" beweisen?

[mm] \delta(c*x)=\bruch{1}{|c|}\delta(x) [/mm] mit c [mm] \in\IC. [/mm]

Es ist doch [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta(c*x) dx}=f(0), [/mm] denn cx=0 für x=0.
Und das ist gleich [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta(x) dx} [/mm]

Gruß

Paivren

        
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Dirac-Delta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 Fr 20.05.2016
Autor: hippias

Mir fehlt solides Hintergrundwissen über die [mm] $\delta$ [/mm] Funktion, aber da das Ergebnis bekannt ist, kann ich sagen, dass die Substitution $z= cx$ durchgeführt wird.

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Dirac-Delta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Do 26.05.2016
Autor: Paivren

Ok, nur sehe ich nicht, warum die Substitution nötig ist. Was ist falsch mit meiner Argumentation?

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Dirac-Delta: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Do 26.05.2016
Autor: hippias

Ich kann Dir keine Antwort geben, da es mir am Hintergrundwissen mangelt. Aber Du könntest Definitionen etc. liefern: vielleicht ergibt sich dann etwas.

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Dirac-Delta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Fr 27.05.2016
Autor: chrisno

DU hast zu Recht Funktion in Anführungsstriche gesetzt. Es ist eben keine Funktion. Es gibt Schreibweisen für die Deltafunktion in Form eines Grenzwertes einer Folge von Funktionen. Also schreibst DU das Integral mit einer dieser Funktionen hin. Um das cx in x zu verwandeln, musst Du, wie hippias geschrieben hat, substituieren. Der Grenzwert wird erst danach betrachtet.

> Ok, nur sehe ich nicht, warum die Substitution nötig ist.
> Was ist falsch mit meiner Argumentation?

Um die Details zu verstehen, musst Du richtig in diese Materie einsteigen. Ansonsten ist es günstiger, die Kochrezepte nachzuvollziehen.


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Dirac-Delta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:12 Mi 06.07.2016
Autor: Paivren

Habe es mal versucht, sollte so gehen:

[mm] \delta [/mm] (x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n}{\pi*(x^{2}+n^{2})}, [/mm] n>0.

--> [mm] \delta [/mm] (c*x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n}{\pi*(c^{2}x^{2}+n^{2})}= \bruch{1}{c^{2}} \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n}{\pi*(x^{2}+\bruch{n^{2}}{c^{2}})} [/mm]

Subst: [mm] u=\bruch{n}{c} [/mm] --> n=c*u

[mm] -->\bruch{1}{|c|} \limes_{u\rightarrow\ 0} \bruch{u}{\pi*(x^{2}+u^{2})} [/mm]

Wobei der Betrag sich für negative c ergibt:
c<0 -> u<0. Kürzt man das eine c, bleibt ein c im Nenner übrig. Da im Zähler von [mm] \bruch{u}{\pi*(x^{2}+u^{2})} [/mm] eine positive Zahl stehen muss (sonst kommt im Limes nicht die Delta-Distribution heraus), kürzt man durch -1, weshalb das c zu -c wird. Ein allgemeines c bekommt also im Nenner die Betragsstriche.

Was meint ihr?

Gruß



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Dirac-Delta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Do 07.07.2016
Autor: hippias

Mit dieser Definition hast Du die Behauptung sehr schön bewiesen.

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Dirac-Delta: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:13 Do 07.07.2016
Autor: Paivren

Dann danke euch beiden für die Hilfe!

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Dirac-Delta: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Do 07.07.2016
Autor: chrisno

Die allgemeine Behauptung hast Du nicht bewiesen. DU hast die Regel nur für eine Beispielfunktion gezeigt. Das sollte in diesem Zusammenhang aber reichen, weil es klar macht, dass irgendwann immer diese Substitution fällig ist.

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