Direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V = [mm] \IR^3$.
[/mm]
i) Beweise, dass die folgende Behauptung wahr ist: Wenn $V$ die direkte Summe der Teilräume [mm] $W_1, W_2, \ldots, W_k$ [/mm] ist, dann ist [mm] $W_i \cap W_j [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] für alle $i [mm] \not= [/mm] j$.
ii) Finde ein Gegenbeispiel für die folgende Behauptung: Wenn $ V = [mm] \summe_{i=1}^{k} W_i$ [/mm] und [mm] $W_i \cap W_j [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] für alle $i [mm] \not= [/mm] j$, dann ist $V = [mm] W_1 \oplus W_2 \oplus \ldots \oplus W_k$. [/mm] |
Hallo,
ich muss sagen, dass ich leider keinen Ansatz habe, wie ich an diese Aufgaben rangehen soll. Ich hoffe, dass mir jemand nützliche Tipps geben kann.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Do 12.02.2015 | | Autor: | hippias |
Tip: Unter welchen Voraussetzungen bilden Unterraeume eine direkte Summe?
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Hey,
> Tip: Unter welchen Voraussetzungen bilden Unterraeume eine
> direkte Summe?
Wenn
[mm] $\qquad$ [/mm] 1) sie eine normale Summe bilden und
[mm] $\qquad$ [/mm] 2) gilt, dass die Schnittmenge aller Unterräume nur der Nullvektor ist.
Wenn ich es nicht falsch interpretiert habe, steht aber der zweite Punkt in der Aufgabe, und das irritiert mich.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Do 12.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
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> > Tip: Unter welchen Voraussetzungen bilden Unterraeume eine
> > direkte Summe?
>
> Wenn
> [mm]\qquad[/mm] 1) sie eine normale Summe bilden und
> [mm]\qquad[/mm] 2) gilt, dass die Schnittmenge aller Unterräume
> nur der Nullvektor ist.
Was Du unter 2) sagst, ist nicht eindeutig. Schreibe exakt auf, was Du meinst.
FRED
>
> Wenn ich es nicht falsch interpretiert habe, steht aber der
> zweite Punkt in der Aufgabe, und das irritiert mich.
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
> > Tip: Unter welchen Voraussetzungen bilden Unterraeume eine
> > direkte Summe?
Etwas genauer formuliert:
Wenn
[mm] $\qquad$ [/mm] 1) sie eine normale Summe bilden und
[mm] $\qquad$ [/mm] 2) für alle $j$ gilt, dass [mm] $W_j \cap (\sum_{i \not= j} W_i) [/mm] = [mm] \{0\}$
[/mm]
Das war die Definition, die wir bekommen haben. So besser?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 12.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > > Tip: Unter welchen Voraussetzungen bilden Unterraeume eine
> > > direkte Summe?
>
> Etwas genauer formuliert:
>
> Wenn
> [mm]\qquad[/mm] 1) sie eine normale Summe bilden und
> [mm]\qquad[/mm] 2) für alle [mm]j[/mm] gilt, dass [mm]W_j \cap (\sum_{i \not= j} W_i) = \{0\}[/mm]
>
> Das war die Definition, die wir bekommen haben. So besser?
Viiieeel besser !
Aber dann ist doch wegen
[mm] W_j \cap W_i \subseteq W_j \cap (\sum_{k \not= j} W_k) [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j
alles klar.
FRED
>
> Liebe Grüße.
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Hey,
>
> Aber dann ist doch wegen
>
> [mm]W_j \cap W_i \subseteq W_j \cap (\sum_{k \not= j} W_k)[/mm]
> für i [mm]\ne[/mm] j
>
> alles klar.
Könntest du das für mich kurz erläutern? :)
Ich hab mir auch noch mal zur zweiten Teilaufgabe Gedanken gemacht. Wenn ich jeden Vektor aus $V$ nicht als eindeutige Summe von Vektoren aus [mm] $W_1, W_2$ [/mm] und [mm] $W_3$ [/mm] schreiben kann, handelt es sich nicht um eine direkte Summe. Ich definiere die drei folgenden Untervektorräume des [mm] $\IR^3$ [/mm] mithilfe von Basisvektoren:
[mm] $W_1 [/mm] := [mm] [w_1] [/mm] := [mm] [\vektor{0\\2\\1}]$
[/mm]
[mm] $W_2 [/mm] := [mm] [w_2] [/mm] := [mm] [\vektor{0\\1\\1}]$
[/mm]
[mm] $W_3 [/mm] := [mm] [w_3, w_4] [/mm] := [mm] [\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}]$
[/mm]
Man sieht, dass die Schnittmengen dieser drei Räume stets nur aus dem Nullvektor bestehen. Nun ist es allerdings so, dass man beispielsweise den Vektor $v := [mm] \vektor{0\\2\\1} \in \IR^3$ [/mm] folgendermaßen schreiben kann:
$v = [mm] 1w_1+0w_2+0w_3+0w_4$ [/mm] und
$v = [mm] 0w_1+1w_2+0w_3+1w_4$
[/mm]
Dem Vektor $v$ ist also keine eindeutige Summe von Vektoren aus den drei Unterräumen zugeordnet und damit handelt es sich nicht um eine direkte Summe.
Ist das so ok?
Liebe Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 21.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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