Diverse Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 25.01.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale:
[mm] \integral \bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*dx
[/mm]
[mm] \integral [/mm] sinhx*cosx*dx
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}cos^2x*dx [/mm] |
Ich wäre froh, für einen Tipp zum Lösen der Integrale.
Z.B. habe ich es bei Aufgabe c) mit Partieller Integration versucht. Dies war aber extrem mühsam. Habe dann schliesslich aufgegeben. Gäbe es da einen einfacheren Weg?
Und Aufgabe b) erschien mir auch extrem umständlich...!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Fr 25.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechne folgende Integrale:
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> [mm]\integral \bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*dx[/mm]
>
zu a) Substitution x=sin t
> [mm]\integral[/mm] sinhx*cosx*dx
zu b) vermutlich partiell (es sei denn, du hast einen Tippfehler, und der 2. Faktor heißt coshx (dann geht es über e-Funktionen)
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}cos^2x*dx[/mm]
> Ich wäre froh, für einen Tipp zum Lösen der Integrale.
> Z.B. habe ich es bei Aufgabe c) mit Partieller Integration
> versucht. Dies war aber extrem mühsam. Habe dann
> schliesslich aufgegeben. Gäbe es da einen einfacheren Weg?
zu c) Partiell (zweimal) führt schon zum Ziel. Außerdem gilt noch
cos 2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1, damit gilt
cos²x=(1+cos2x)/2. Das lässt sich möglicherweise besser integrieren.
>
> Und Aufgabe b) erschien mir auch extrem umständlich...!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Johnny!
Sollte Dein 2. Integral wirklich [mm] $\integral{\sinh(x)*\cos\red{h}(x) \ dx}$ [/mm] lauten, kannst Du alternativ einen der beiden Faktoren substituieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Fr 01.02.2008 | | Autor: | johnny11 |
>
> Sollte Dein 2. Integral wirklich
> [mm]\integral{\sinh(x)*\cos\red{h}(x) \ dx}[/mm] lauten, kannst Du
> alternativ einen der beiden Faktoren substituieren.
>
>
Nein, das Integral habe ich richtig aufgeschrieben. Es lautet:
[mm] \integral{\sinh(x)*\cos(x) \ dx}
[/mm]
Ich habe aber da absolut keine Ahnung wie ich dieses Integral berechnen kann.
Würde eventuell der folgende Ausdruck helfen:
[mm] \wurzel{\cosh(x)^2 - 1} [/mm] = [mm] \sinh(x)
[/mm]
Habe das Integral mit Hilfe dieses Ausrucks zu lösen versucht. War aber leider nicht erfolgreich...!
Habe auch bereits mit [mm] \sinh(x)' [/mm] = [mm] \cosh(x) [/mm] bzw. [mm] \cosh(x)' [/mm] = [mm] \sinh(x) [/mm] versucht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Fr 01.02.2008 | | Autor: | vwxyz |
Vielleicht hilft dir es das sinh(x) = [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{2}
[/mm]
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Hallo Johnny,
du könntest Folgendes versuchen:
Es ist ja [mm] $\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}(e^x-e^{-x})$
[/mm]
Damit ist [mm] $\sinh(x)\cdot{}\cos(x)=\frac{1}{2}e^x\cos(x)-\frac{1}{2}e^{-x}\cos(x)$
[/mm]
Damit wird das Integral zu [mm] $\int{\sinh(x)\cdot{}\cos(x) \ dx}=\frac{1}{2}\int{e^x\cos(x) \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \frac{1}{2}\int{e^{-x}\cos(x) \ dx}$
[/mm]
Und die beiden Integrale kannst du einzeln jeweils mit zweifacher partieller Integration erschlagen.
Du erhältst dann jeweis wieder das Ausgangsintegral und kannst danach umstellen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 04.02.2008 | | Autor: | johnny11 |
>
> Es ist ja [mm]\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}(e^x-e^{-x})[/mm]
>
> Damit ist
> [mm]\sinh(x)\cdot{}\cos(x)=\frac{1}{2}e^x\cos(x)-\frac{1}{2}e^{-x}\cos(x)[/mm]
>
> Damit wird das Integral zu [mm]\int{\sinh(x)\cdot{}\cos(x) \ dx}=\frac{1}{2}\int{e^x\cos(x) \ dx} \ - \ \frac{1}{2}\int{e^{-x}\cos(x) \ dx}[/mm]
>
> Und die beiden Integrale kannst du einzeln jeweils mit
> zweifacher partieller Integration erschlagen.
>
> Du erhältst dann jeweis wieder das Ausgangsintegral und
> kannst danach umstellen...
>
Hallo Schachuzipus,
Vielen Dank erstmals für deine Antwort.
Aber das Integral mit dem sinh(x) habe ich leider immer noch nicht ganz verstanden. Könntest du mir deine Erklärung noch ein wenig erläutern ?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Johnny,
gut, ich nehme mir aber nur das erste der beiden Integrale heraus:
Mit zweifacher partieller Integration $\int{u'(x)v(x) \ dx}=u(x)v(x)-\int{u(x)v'(x) \ dx}$ und $e^x:=u'(x), \cos(x):=v(x)$ bzw. beim zweiten Mal $v(x):=\sin(x)$ folgt:
$\red{\frac{1}{2}\int{e^x\cos(x) \ dx}} \ = \ \frac{1}{2}\cdot{}\left[e^x\cdot{}\cos(x)+\int{e^x\sin(x) \ dx}\right]=\frac{1}{2}\cdot{}\left[e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int{e^x\cos(x) \ dx}\right]=\red{\frac{e^x\cos(x)+e^x\sin(x)}{2}-\frac{1}{2}\int{e^x\cos(x) \ dx}}$
Nun hast du das Ausgangsintegral auf beiden Seiten der Gleichung stehen, also $+\frac{1}{2}\int{e^x\cos(x) \ dx}}$ auf beiden Seiten.
Das ergibt: $\int{e^x\cos(x) \ dx}=\frac{e^x\cos(x)+e^x\sin(x)}{2}$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 04.02.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Integrale mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
a) [mm] \integral{\bruch{x^7}{x^4+2} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral{\bruch{1-x}{x^2+x+1} dx} [/mm] |
Bei a) habe ich zuerst eine Polynomdivision durchgeführt:
[mm] x^3 [/mm] - [mm] \bruch{2x^3}{x^4+2}
[/mm]
Das Integral für den ersten Summand ist trivial, aber was kann ich beim zweiten Summand machen?
Bei b) weiss ich nicht, wie ich die Partialbruchzerlegung durchführen kann. Der Nenner hat ja nur komplexe Nullstellen...
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Johnny,
für das Integral $-\int{\frac{2x^3}{x^4+2} \ dx}$ kannst du entweder eine Substitution $u:=x^4+2$ machen und das Integral berechnen oder du formst es zunächst noch etwas um:
$\int{\frac{2x^3}{x^4+2} \ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{4x^3}{x^4+2} \ dx}$
Dies ist nun ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, das also im Zähler die Ableitung des Nenners hat.
Und das hat bekanntlich die Stammfunktion $F(x)=\ln|f(x)|+C$
(Darauf ist übrigens auch der erste Substitutionsansatz begründet)
Für das zweite Integral kannst du entweder eine komplexe PBZ machen, das ist aber nicht sehr schön zu rechnen oder schreibe wieder um in:
$\int{\frac{1-x}{x^2+x+1} \ dx}=\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx} \ - \ \int{\frac{x}{x^2+x+1} \ dx}$
$=\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx} \ - \ \frac{1}{2}\int{\frac{2x\red{+1-1}}{x^2+x+1} \ dx}$
$=\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx} \ - \ \frac{1}{2}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx} \ + \ \frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+2x+1} \ dx}$
$=\frac{3}{2}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx \ - \ \frac{1}{2}\int{\frac{2x+1}{x^2+2x+1} \ dx}$
Das hintere Integral ist wieder ein logarithmisches, für das erste denke an den $\arctan$ und evtl. Substitution $u:=x+\frac{1}{2}$
LG
schachuzipus
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