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Doppelintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Do 21.07.2016
Autor: Ulquiorra

Hallo,
ich frage mich was ich als Funktion für das Doppelintegral schreibe, wenn ich zum Beispiel nur diese Informationen habe.

f(x) und g(x) schließen eine Fläche komplett ein. Berechnen Sie den Flächeneinhalt mittels Doppelintegral.

Das müsste ja dann ungefähr so aussehen:
Es gibt 2 Schnittpunkte von f(x) und g(x). Die sein an den Stellen [mm] x_{s1} [/mm] und [mm] x_{s2}, [/mm] wobei [mm] x_{s1} [/mm] < [mm] x_{s2} [/mm] . Das heißt die Integration über x ist von [mm] x_{s1} [/mm] bis [mm] x_{s2} [/mm] und die Integration über y ist von [mm] f(x_{s1}) [/mm] oder [mm] g(x_{s1}) [/mm] bis [mm] f(x_{s2}) [/mm] oder [mm] g(x_{s2}). [/mm]

So dass ich schonmal schreiben könnte:
[mm] \integral_{x_{s1}}^{x_{s2}} \integral_{f(x_{s1})}^{f(x_{s2})} [/mm] dy dx

Aber was integriere ich denn jetzt genau doppelt? Also welche Funktion? Eine neue Funktion h(x) = f(x) - g(x)? Kommt mir zu naiv vor. Oder h(x) = f(x) * g(x)?

Gruß

        
Bezug
Doppelintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Fr 22.07.2016
Autor: fred97

Wir habe die folgende Situation:

seien $f,g [mm] \in [/mm] C([a,b])$, wobei a<b, und es gelte f [mm] \le [/mm] g auf [a,b].

Weiter sei

    [mm] $B:=\{(x,y) \in \IR^2: x \in [a,b], f(x) \le y \le g(x)\}$ [/mm]

Skizze !!

Dann ist der Inhalt von B nach Fubini

    = [mm] \integral_{B}^{}{1 d(x,y)}=\integral_{a}^{b}{(\integral_{f(x)}^{g(x)}{1 dy}) dx}. [/mm]

FRED



Bezug
                
Bezug
Doppelintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:02 Sa 23.07.2016
Autor: Ulquiorra

Danke fred jetzt hab ichs verstanden.
Eine Frage noch die auch was damit zu tun hat. Sagen wir mal ich sehe den Normalbereich anhand einer Skizze . Aber die untere Grenze ist nicht mit einer einzigen Funktion zu beschreiben.
Zum Beispiel wenn der Normalbereich das Dreick ABC ist mit den Punkten A(0/0), B(2/1) und C(-1/1). Die "untere" Funktion wäre ja dann eigentlich:

[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x, & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases} [/mm]

Muss ich dann zwangsweise 2 Doppelintegrale bilden um Integrale in diesem Normalbereich zu ermitteln?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Doppelintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Sa 23.07.2016
Autor: fred97


> Danke fred jetzt hab ichs verstanden.
>  Eine Frage noch die auch was damit zu tun hat. Sagen wir
> mal ich sehe den Normalbereich anhand einer Skizze . Aber
> die untere Grenze ist nicht mit einer einzigen Funktion zu
> beschreiben.
>  Zum Beispiel wenn der Normalbereich das Dreick ABC ist mit
> den Punkten A(0/0), B(2/1) und C(-1/1). Die "untere"
> Funktion wäre ja dann eigentlich:
>  
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x, & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ x, & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases}[/mm]


Doch eher

[mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2}x, & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ -x, & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases}[/mm]


>  
> Muss ich dann zwangsweise 2 Doppelintegrale bilden um
> Integrale in diesem Normalbereich zu ermitteln?

Zwangsweise sicher nicht. Obiges Dreieck kann man auch als Normalbereich bezügl. der y-Achse auffassen.

FRED

>  
> Gruß


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