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| Aufgabe | Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem und tragen Sie darin den Punkt P = (4; 3) ein.
a) Zeichnen Sie nun ein um [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] gegen den Uhrzeigersinn gedrehtes Koordinatensystem ein.
Lesen Sie dann die Koordinaten von P im neuen Koordinatensystem ab und überprüfen Sie dies anhand rechnerisch bestimmter Werte.
b) Ausgehend vom ursprünglichen Koordinatensystem zeichnen Sie ein weiteres, diesmal um [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] im Uhrzeigersinn gedrehtes Koordinatensystem ein. Bestimmen Sie grafisch und rechnerisch
die neuen Koordinaten von P.
c) Verschieben Sie das urspr¨ungliche Koordinatensystem in Richtung des Ortsvektors [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] um 3 Längeneinheiten, dann drehen Sie es um [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] gegen den Uhrzeigersinn. Wie lauten – rechnerisch und grafisch – die Koordinaten des Punktes, der im ersten Koordinatensystem die Koordinaten (1; 2) hat? |
a) [mm] \pmat{ cos\bruch{\pi}{3} & -sin\bruch{\pi}{3} \\ sin\bruch{\pi}{3} & cos\bruch{\pi}{3} } [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-0,6 \\ 4,96}
[/mm]
b) [mm] \pmat{- cos\bruch{\pi}{4} & sin\bruch{\pi}{4} \\ -sin\bruch{\pi}{4} & -cos\bruch{\pi}{4} } [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-0,71 \\ -4,95}
[/mm]
c) [mm] \vektor{1\\ 2}+ [/mm] 3* [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = a
[mm] \pmat{ cos\bruch{\pi}{6} & -sin\bruch{\pi}{6} \\ sin\bruch{\pi}{6} & cos\bruch{\pi}{6} } [/mm] * a= [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
ich war jetzt zu faul um das auszurechnen. aber der ansatz ist richtig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 So 20.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeichnen Sie ein kartesisches Koordinatensystem und tragen
> Sie darin den Punkt P = (4; 3) ein.
>
> a) Zeichnen Sie nun ein um [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] gegen den
> Uhrzeigersinn gedrehtes Koordinatensystem ein.
> Lesen Sie dann die Koordinaten von P im neuen
> Koordinatensystem ab und überprüfen Sie dies anhand
> rechnerisch bestimmter Werte.
>
> b) Ausgehend vom ursprünglichen Koordinatensystem zeichnen
> Sie ein weiteres, diesmal um [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] im
> Uhrzeigersinn gedrehtes Koordinatensystem ein. Bestimmen
> Sie grafisch und rechnerisch
> die neuen Koordinaten von P.
>
>
> c) Verschieben Sie das urspr¨ungliche Koordinatensystem in
> Richtung des Ortsvektors [mm]\overrightarrow{0P}[/mm] um 3
> Längeneinheiten, dann drehen Sie es um [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm]
> gegen den Uhrzeigersinn. Wie lauten – rechnerisch und
> grafisch – die Koordinaten des Punktes, der im ersten
> Koordinatensystem die Koordinaten (1; 2) hat?
> a) [mm]\pmat{ cos\bruch{\pi}{3} & -sin\bruch{\pi}{3} \\ sin\bruch{\pi}{3} & cos\bruch{\pi}{3} }[/mm]
> * [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{-0,6 \\ 4,96}[/mm]
Siehe ![[]](/images/popup.gif) aktive und passive Drehung.
Du hast die Rotationsmatrix für aktive Drehung genommen.
Hier handelt es sich aber um eine passive Drehung.
>
>
> b) [mm]\pmat{- cos\bruch{\pi}{4} & sin\bruch{\pi}{4} \\ -sin\bruch{\pi}{4} & -cos\bruch{\pi}{4} }[/mm]
> * [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{-0,71 \\ -4,95}[/mm]
Siehe a).
Außerdem, wenn es in die entgegengesetzte Richtung geht,
musst du [mm] -$\alpha$ [/mm] nehmen, und nicht -R.
>
>
> c) [mm]\vektor{1\\ 2}+[/mm] 3* [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] = a
Du hast nicht die Länge von [mm] $\vektor{4 \\ 3}$ [/mm] berücksichtigt.
Außerdem siehe a).
>
>
>
> [mm]\pmat{ cos\bruch{\pi}{6} & -sin\bruch{\pi}{6} \\ sin\bruch{\pi}{6} & cos\bruch{\pi}{6} }[/mm]
> * a= [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> ich war jetzt zu faul um das auszurechnen. aber der ansatz
> ist richtig oder?
Gruß
meili
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ich muss die drehmatrix also nur tranponieren
a) [mm] \pmat{ cos\bruch{\pi}{3} & sin\bruch{\pi}{3} \\ -sin\bruch{\pi}{3} & cos\bruch{\pi}{3} } [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
b) [mm] \pmat{ cos(\bruch{-\pi}{4}) & sin(\bruch{-\pi}{4}) \\ -sin(\bruch{-\pi}{4}) & cos(\bruch{-\pi}{4}) } [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
c) [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \bruch{3}{5}* \vektor{4 \\ 3}= [/mm] a
[mm] \pmat{ cos\bruch{\pi}{6} & sin\bruch{\pi}{6} \\ -sin\bruch{\pi}{6} & cos\bruch{\pi}{6} } [/mm] * a = [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
ist der ansatz diesmal richtig?
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Hallo,
ich glaube deine lösung zu aufg. c) stimmt nicht ganz
ich habe die Punkte A(1;2) und P(4;3). jetzt wird das koordinatensystem um 3 längeneinheiten in Richtung [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] verschoben
Dann wäre der neue Punkt A so definiert:
[mm] A_{neu}= \vektor{1 \\ 2}+\bruch{3}{5}*\vektor{4 \\ 3}
[/mm]
das stimmt mit meiner zeichnerischen Lösung überein. oder habe ich hier einen denkfehler?
und dann würde ich [mm] A_{neu} [/mm] mit der Rotationsmatrix multiplizieren
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 11.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
poste doch mal deine zeichnerische Lösung.
Gruß
meili
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hallo,
das bild ist etwas unscharf. ich habe es so gezeichnet: ich habe die Punkte A und P in das koordinatensystem gezeichnet. Dann das Koordinatensystem um 3 lägeneinheiten nach [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] verschoben und in dem verschobenen koordinatensystem wieder den punkt A gezeichnet. Die Koordinaten von den neuen Punkt A lese ich im alten koordinaatensystem ab
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 11.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> hallo,
>
> das bild ist etwas unscharf. ich habe es so gezeichnet: ich
> habe die Punkte A und P in das koordinatensystem
> gezeichnet. Dann das Koordinatensystem um 3 lägeneinheiten
> nach [mm]\overrightarrow{0P}[/mm] verschoben und in dem
> verschobenen koordinatensystem wieder den punkt A
> gezeichnet. Die Koordinaten von den neuen Punkt A lese ich
> im alten koordinaatensystem ab
Altes und neues Koordinatensystem ist richtig gezeichnet.
Was man aber bei der Aufgabe bei c) machen soll,
ist die Koordinaten des Punktes A, der im alten Koordinatensystem die
Koordinaten (1;2) hat, im neuen Koordinatensystem ablesen -
und nicht einen neuen Punkt A' eintragen.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
meili
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> Außerdem, wenn es in die entgegengesetzte Richtung geht,
> musst du -[mm]\alpha[/mm] nehmen, und nicht -R.
dazu habe ich noch eine frage.
die Allgemeine Formel für eine aktive Drehmatrix R = [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha } [/mm] beschreibt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn
gegeben sei jetzt folgende Matrix:
A = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} } \gdw \pmat{ -cos(\bruch{\pi}{4}) & sin(\bruch{\pi}{4})\\ -sin(\bruch{\pi}{4}) & -cos(\bruch{\pi}{4})}
[/mm]
Die Matrix A beschreibt eine Drehung um [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] im uhrzeigersinn
also zusammengefasst
R = [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha } [/mm] beschreibt eine drehung gegen den uhrzeigersinn
A = [mm] \pmat{ -cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & -cos \alpha } [/mm] beschreibt eine Drehung im Uhrzeigersinn
also müsste ich doch bei b) nicht -1* [mm] \alpha, [/mm] sondern -1 * die Matrix nehmen oder gilt das nicht bei passiven Drehmatrizen? oder habe ich hier einen großen denkfehler?
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hi,
du hast einen fehler gemacht. der Drehwinkel von A ist [mm] \bruch{\pi}{4}. [/mm] Wenn du den Drehwinkel bestimmen willst, darf du die vorzeichen nicht berücksichtigen. den grund was ich allerdings nicht. vielleicht kann mir es einer hier erklären?
> Der Drehwinkel in einer Drehmatrix ist für eine Drehung
> gegen den
> Uhrzeigersinn angegeben. Wenn eine Drehung im Uhrzeigersinn um den
> Winkel [mm]\beta[/mm] betrachtet werden soll, kann man entweder mit
> [mm]\alpha = -\beta[/mm]
> oder mit [mm]\alpha = 2\pi - \beta[/mm] rechnen.
das verstehe ich. das macht auch sinn. aber mein ansatz müsste auch richtig sein
R = [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }
[/mm]
A = [mm] \pmat{ -cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & -cos \alpha }
[/mm]
R beschreibt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn und A eine Drehung im uhrzeigersinn.
DER BEWEIS:
gegeben sei Vektor p (1;1)
R * p = [mm] \pmat{ cos \bruch{\pi}{2} & -sin \bruch{\pi}{2} \\ sin \bruch{\pi}{2} & cos \bruch{\pi}{2} } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Der vektor p hat sich um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gegen den Uhrzeigersinn gedreht
A* p = [mm] \pmat{ -cos \bruch{\pi}{2} & sin \bruch{\pi}{2} \\ -sin \bruch{\pi}{2} & -cos \bruch{\pi}{2} } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
hier hat sich der vektor p um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] im uhrzeigersinn gedreht.
also müsste mein ansatz auch stimmen? ich muss nicht unbedingt das vorzeichen des drehwinkels ändern. ich kann auch das vorzeichen der matrix ändern.
kann das jemand bestätigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 21.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> hi,
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> du hast einen fehler gemacht. der Drehwinkel von A ist
> [mm]\bruch{\pi}{4}.[/mm] Wenn du den Drehwinkel bestimmen willst,
> darf du die vorzeichen nicht berücksichtigen. den grund
> was ich allerdings nicht. vielleicht kann mir es einer hier
> erklären?
Ich weis nicht, ob du mal ausprobiert hast, wohin die Matrix A einen Vektor
dreht.
Ein Beispiel wohin der Vektor [mm] $\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] von der Matrix A,
(wie im letzten Post beschrieben) gedreht wird:
$ [mm] \pmat{ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -\wurzel{2} } [/mm] $
Vielleicht siehst du daran, dass die Drehung [mm] $\bruch{3}{4}*\pi$ [/mm] im Uhrzeigersinn ist.
>
>
> > Der Drehwinkel in einer Drehmatrix ist für eine Drehung
> > gegen den
> > Uhrzeigersinn angegeben. Wenn eine Drehung im Uhrzeigersinn
> um den
> > Winkel [mm]\beta[/mm] betrachtet werden soll, kann man entweder mit
> > [mm]\alpha = -\beta[/mm]
> > oder mit [mm]\alpha = 2\pi - \beta[/mm] rechnen.
>
> das verstehe ich. das macht auch sinn. aber mein ansatz
> müsste auch richtig sein
>
> R = [mm]\pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }[/mm]
>
> A = [mm]\pmat{ -cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & -cos \alpha }[/mm]
>
> R beschreibt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn und A
> eine Drehung im uhrzeigersinn.
>
> DER BEWEIS:
>
> gegeben sei Vektor p (1;1)
>
> R * p = [mm]\pmat{ cos \bruch{\pi}{2} & -sin \bruch{\pi}{2} \\ sin \bruch{\pi}{2} & cos \bruch{\pi}{2} }[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> Der vektor p hat sich um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] gegen den
> Uhrzeigersinn gedreht
>
> A* p = [mm]\pmat{ -cos \bruch{\pi}{2} & sin \bruch{\pi}{2} \\ -sin \bruch{\pi}{2} & -cos \bruch{\pi}{2} }[/mm]
> * [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> hier hat sich der vektor p um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] im
> uhrzeigersinn gedreht.
Das funktioniert nur weil [mm] $cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0$.
Wenn $R = [mm] \pmat{ cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }$,
[/mm]
so ist $A = [mm] \pmat{ cos \alpha & sin \alpha \\ -sin \alpha & cos \alpha }$.
[/mm]
>
> also müsste mein ansatz auch stimmen? ich muss nicht
> unbedingt das vorzeichen des drehwinkels ändern. ich kann
> auch das vorzeichen der matrix ändern.
Nein, du kannst mit der inversen Matrix rechnen; und bei Drehmatrizen
ist die inverse Matrix gleich der transponierten Matrix.
>
> kann das jemand bestätigen?
Nein, das geht nur dann, wenn $cos [mm] \alpha [/mm] = 0$
>
Gruß
meili
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
