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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Ebene
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Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Lieber Stefan,

Ich hab zwei Fragen zum Theme Ebene.

1. Wenn ich zwei Ebenen in Normalenform gegeben habe, kann ich dann die Schnittgerade bestimmen ohne die Parameterformen zu errechnen?

2. Wenn ich eine Ebene in Normalenform gegebn habe dann gibt doch irgendwie manchmal das was hinterm Gleichheitszeichen steht den Abstand zum Nullpunkt an, oder? Zumindest hab ich dass bei einigen AUfgaben am Rand stehen, aber bei anderen nicht???????????????????????
Komisch!



Viele Grüße,
Lea

        
Bezug
Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Do 15.05.2003
Autor: Marc

Hallo Lea,

ich möchte dich hier nicht vertreiben, aber ich antworte dir trotzdem mal ;-)

zu 1.)

Streng mit der Normalenform zu arbeiten, funktioniert --soweit ich das sehe-- nicht. Höchstens den Richtungsvektor u der Schnittgerade kann ziemlich einfach bestimmt werden, denn er steht auf beiden Normalenvektoren (n1 und n2) senkrecht ==>
u*n1 = 0 und
u*n2 = 0.
(Schneller geht's mit dem Vektorprodukt)

Es funktioniert aber ganz gut mit der Koordinatenform der beiden Ebenen, die kann mit immerhin sofort hinschreiben, wenn die Normalenform gegeben ist. Beispiel:

E1: x+y-z = 1
E2: 2x-y+3z = 0

Gleichungssystem:
x+y-z = 1
2x-y+3z = 0

<=>
...
<=>

3x +2z = 1
  -3y+5z = -2

Dieses Gleichungssystem stellt nun eine Gerade dar, was durch Zufügen der sicher gültigen Gleichung "z=z" deutlich wird:
3x +2z = 1
-3y+5z = -2
z=z

<=>

3x = 1 - 2z
-3y = -2 - 5z
z=z

<=>

x = 1/3 - 2/3z
y = 2/3 + 5/3z
z=z

Parameterform der Schnittgerade:
g: x = (1/3; 2/3; 0) + r*(-2/3; +5/3; 1)




zu 2.)

Das "manchmal" ist immer dann der Fall, wenn die Ebene in Hessesche-Normalenform gegeben ist.

Bei der Hesse-Normalenform ist zusätzlich zur Normalenform der Normalenvektor normiert, hat also die Länge 1. Die Umwandlung ist ganz einfach, die Normalenformgleichung wird einfach durch die Länge des Normalenvektors geteilt.

Da es so zwei Hessesche-Normalenformen gibt (es gibt ja immer zwei Normalenvektoren, die in die gleiche Richtung zeigen und die Länge 1 haben, nämlich die unterschiedlich orientierten bzw. die jeweiligen Gegenvektoren zueinander) wählt man in der Regel den Normalenvektoren, bei dem die "Zahl auf der rechten Seite" deiner Normalengleichung positiv ist.

Viele Grüsse
Marc



Nachricht bearbeitet (05-15-03 11:16)

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Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Do 15.05.2003
Autor: Lea

Hallo Marc,

Du vertreibst mich hier doch nicht in dem du antwortest!!!!

Im Gegenteil, danke für die Hilfe.


Viele Grüße,
Lea

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Bezug
Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Do 15.05.2003
Autor: Stefan

Liebe Lea,

ich rechne dir zu deiner ersten Frage mal ein Beispiel vor:

[mm] E_1 [/mm] : [mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 2

[mm] E_2 [/mm] : [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = 1.

Erst einmal eliminierst du eine der Unbekannten:

(I)  [mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 2 | * (-3)
(II) [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = 1

(I) [mm] -3x_1 [/mm] - [mm] 6x_2 [/mm] + [mm] 9x_3 [/mm] = -6 | (I)+(II)
(II) [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = 1

(I) [mm] -5x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = -5
(II) [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 4x_3 [/mm] = 1

Nun setzt du

[mm] x_3 [/mm] = r (du könntest alternativ auch [mm] x_2 [/mm] = r setzen!)

und löst (I) nach [mm] x_2 [/mm] auf:

[mm] x_2 [/mm] = 1 + r

Setze nun [mm] x_3 [/mm] = r und [mm] x_2 [/mm] = 1 + r in (II) ein:

[mm] 3x_1 [/mm] + (1 + r) - 4 * r = 1

<=> [mm] 3x_1 [/mm] + 1 + r -  4r = 1

<=> [mm] 3x_1 [/mm] = 3r

<=> [mm] x_1 [/mm] =  r

Fasse nun die drei Gleichungen

[mm] x_1 [/mm] =  0 + 1*r
[mm] x_2 [/mm] = 1 + 1*r
[mm] x_3 [/mm] = 0 + 1*r

als Vektorgleichung auf:

x = (0 1 0) + r * (1 1 1)

Dies ist die Parameterform der gesuchten Schnittgerade.

Nun zur zweiten Frage:

Wenn der Normalenvektor n = [mm] (n_1 n_2 n_3) [/mm] normiert ist, wenn also |n|=1 gilt, dann ist

[mm] n_1 [/mm] * [mm] x_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] + [mm] n_3 [/mm] * [mm] x_3 [/mm] = d

die Hessesche Normalform. In diesem Fall ist |d| der Abstand der Ebene vom Nullpunkt, in der Tat.

Wenn du nun den Abstand der Ebene zu einem anderen Punkt berechnen willst, musst du wie folgt vorgehen:

Sei P = [mm] (p_1 p_2 p_3). [/mm] Dann gilt:

d(P,E) = | [mm] n_1 [/mm] * [mm] p_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm] * [mm] p_2 [/mm] + [mm] n_3 [/mm] * [mm] p_3 [/mm] - d |.

Wenn nun nicht |n| = 1 gilt, dann musst du die Koordinatengleichung

[mm] n_1 [/mm] * [mm] x_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm] * [mm] x_2 [/mm] + [mm] n_3 [/mm] * [mm] x_3 [/mm] = d

erst normieren, indem du beide Seiten durch |n| teilst.

Alles klar? Sonst frage bitte nach.

Viele liebe Grüße
Stefan


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Bezug
Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Do 15.05.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc, hallo Lea,

sorry, ich hatte jetzt erst gesehen, dass Marc schon geantwortet hatte.

Viele Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Do 15.05.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

nee, das ist wohl eher meine "Schuld", denn es war ja irgendwie klar, dass du sofort antworten würdest ;-)
Aber ich wollte auch mal!

Ich seh' schon, optimalerweise bräuchten wir eine Ampel-Funktion, wie in manchen anderen Foren ;-)

Das nächste Mal werde ich einfach einen kurzen Hinweis-Artikel schreiben, wenn ich gerade eine Aufgabe bearbeite.

Viele Grüße,
Marc


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