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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Ebene, Gerade, Orthogonalität
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Ebene, Gerade, Orthogonalität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 Fr 13.04.2007
Autor: berndy

Aufgabe
Geg: g: (x1,x2,x3)= (1, 0, 1)T + p*(1, 2, 1)
E: (x1, x2, x3) = (1, 1, 1)T + r* (a, b, 1)T + s* 1, 1, ab)

Für welche Werte a , b steht die Gerade g senkrecht auf der Ebene E?

Habe soweit gerechnet aber irgend wie muß etwas falsch sein und es passt nicht.
1.)   (1, 2, 1) * (a, b, 1)T = 0 ==> a+ 2b +1 = 0
2.)  (1, 2, 1) * (1, 2, ab)T = 0 ==> 1+ 2+ ab = 0
                                                                   ab =  -3 ==>  a = -3/b
                                                                                          b = -3/a
a+ 2(-3/a) +1 = 0
a1= +2 ; a2= -2

            
-3/b +2b +1 = 0
b1= +1;  b2= -1

aber weiter komm ich nicht irgend etwas muss falsch sein.

Danke im Voraus für den Helfer.


        
Bezug
Ebene, Gerade, Orthogonalität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Fr 13.04.2007
Autor: riwe

das ist sicher nicht richtig, du setzt das skalarprodukt = 0, aber alle 3 vektoren liegen in E, und niemand weiß, ob sie senkrecht aufeinand stehen! du mußt zuerst den/einen normalenvektor der ebene bilden.
dann greift der ansatz mit dem skalarprodukt.
[mm] \vec{n}=\vektor{ab²-1\\-a²b+1\\a-b} [/mm]


Bezug
        
Bezug
Ebene, Gerade, Orthogonalität: Lösung der Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Fr 13.04.2007
Autor: G3RM4NY

Wie schon oben richtig gesagt, musst du mit einem Normalenvektor rechnen.
Das hast du auch richtig gemacht. Ich veranschauliche das hier nochmal in Vektorschreibweise:

[mm] \vektor{a \\ b \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 0 [mm] \wedge \vektor{1 \\ 1 \\ ab} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 0

Daraus hast du auch richtig ein Gleichungssystem erstellt:

I)  a + 2b + 1 = 0
II) 1 + 2 + ab = 0

Ich hab nun I) nach a umgestellt:
a = -2b - 1
und das dann wiederrum in II) eingesetzt:
1 + 2 + (-2b -1) * b = 0
[mm] \Rightarrow 2b^{2} [/mm] + b - 3 = 0
Hier kann man dann weiterrechnen wie man will, man hat jedenfalls eine Gleichung mit einer Unbekannten. Ich habs mit Quadratischer Ergänzung gemacht, woraus zwei verschiedene b-Werte entspringen:

[mm] b_{1} [/mm] = -1,5
[mm] b_{2} [/mm] = 1

Jetzt diese Werte einzelnd in I) einsetzen und man erhällt die beiden zugehörigen a-Werte:

[mm] a_{1} [/mm] = 2
[mm] a_{2} [/mm] = -3

Das sind die Lösungen ;)

Gruß,
G3RM4NY

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