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Forum "mathematische Statistik" - Effizienz (Ordnungsstatistik)
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Effizienz (Ordnungsstatistik): Schätzer bei Gleichverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Do 08.11.2007
Autor: chimneytop

Aufgabe
Seien [mm] X_1,..,X_n [/mm] unabhängig und gemäß einer stetigen Gleichverteilung auf [mm] [0,\theta] [/mm] verteilt.

Weisen Sie nach, dass alle Schätzer der Form
[mm] \theta_\lambda [/mm] = [mm] \lambda\bruch{n+1}{n} X_{n:n}+(1-\lambda)(n+1)X_{1:n} (\lambda \in [/mm] (0,1)) erwartungstreu sind und ermitteln Sie jenen Schätzer mit gleichmäßig kleinster Varianz.

[mm] X_{1:n} [/mm] ist das Stichprobenminimum. [mm] X_{n:n} [/mm] das Stichprobenmaximum. Allgemein ist [mm] X_{i:n} [/mm] die i-te Ordnungsstatistik. Diese hat Erwartungswert [mm] \bruch{i}{n+1}\theta [/mm] und Varianz [mm] \bruch{i(n-i+1)}{(n+1)^2(n+2)}\theta^2. [/mm] Damit lässt sich der erste Teil recht leicht zeigen.

Meine Frage: Wie finde ich jenen Schätzer, für den die Varianz minimal ist.

Ich komme auf [mm] V[\theta_\lambda]=\theta^2(\lambda^2\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+(1-\lambda)^2\bruch{n}{(n+1)(n+2)})+2\lambda(1-\lambda)*cov(X_{1:n},X_{n:n}) [/mm]

und finde keinen Weg die auftretende Kovarianz zu berechnen.

Brauch ich diese Berechnung aber überhaupt?

Wenn ich [mm] \bruch{\partial}{\partial\lambda}V[\theta_\lambda]=0 [/mm] setze und die auftretende Kovarianz weglasse, erhalte ich ein Minimum bei [mm] \bruch{n}{n+1}, [/mm] was mir ganz plausibel vorkommt.

Hat jemand einen Vorschlag, wie ich mit der Kovarianz in diesem Beispiel umgehen kann?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Effizienz (Ordnungsstatistik): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Fr 09.11.2007
Autor: luis52

Moin  chimneytop,

zunaechst erst einmal ein herzliches [willkommenmr]

Man kann die gemeinsame Verteilung [mm] $X_{r:n}$ [/mm] und  [mm] $X_{s:n}$ [/mm] bestimmen,
siehe z.B. hier


[]http://mcs.une.edu.au/~stat354/notes/node42.html
[]http://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic

Man erhaelt


[mm] $\operatorname{Cov}[X_{r:n},X_{s:n}]=\frac{r(n-s+1)}{(n+1)^2(n+2)}$ [/mm]


fuer $r<s$ und insbesondere

[mm] $\operatorname{Cov}[X_{n:n},X_{1:n}]=\frac{n^2}{(n+1)^2(n+2)}$ [/mm]

Hieraus kann man ein prima Argument ableiten, dass man den Kovarianzterm vernachlaessigen kann: Fuer grosses $n$ ist das Maximum und das Minimum nahezu unkorreliert, was auch intuitiv Sinn macht.

lg
Luis                      

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 11:59 Di 13.11.2007
Autor: chimneytop

Danke für deine Antwort. Hilft mir schon sehr viel weiter. Ich weiß nur nicht ob das Beispiel richtig gelöst ist, wenn ich die Kovarianz komplett unter den Tisch fallen lasse (trotz naheliegendem Argument). Wenn ich das Minimum unter Berücksichtigung der Kovarianz berechne, bekomme ich allerdings kein plausibles Ergebnis mehr.

Bezug
        
Bezug
Effizienz (Ordnungsstatistik): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Di 13.11.2007
Autor: luis52

Hallo,

> Ich komme auf
> [mm]V[\theta_\lambda]=\theta^2(\lambda^2\bruch{1}{(n+1)(n+2)}+(1-\lambda)^2\bruch{n}{(n+1)(n+2)})+2\lambda(1-\lambda)*cov(X_{1:n},X_{n:n})[/mm]
>  

Hm, vielleicht sollten wir uns zunaechst einmal uber die Grundlagen unterhalten, denn ich kann
das obige Ergebnis nicht nachvollziehen:


[mm] $\operatorname{Var}[\frac{n+1}{n} X_{n:n}]=(\frac{n+1}{n})^2\frac{n}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{1}{n(n+2)}$ [/mm]

[mm] $\operatorname{Var}[(n+1)X_{1:n}]=(n+1)^2\frac{n}{(n+1)^2(n+2)}=\frac{n}{n+2}$ [/mm]

Bitte um Aufklaerung.


lg Luis

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 14:20 Di 13.11.2007
Autor: chimneytop

Sorry, da war wohl ein Fehler drin. Hab das heute früh nochmal gerechnet und komm auf

[mm] \lambda^2 \bruch{1}{n*(n+2)}\theta^2+(1-\lambda)^2\bruch{n}{n+2}\theta^2 [/mm] + "Kovarianz"

was mit deinem Ergebnis übereinstimmt.

Lässt man den Kovarianz-Term weg und setzt die Ableitung 0, erhält man ein Extremum bei [mm] \lambda=\bruch{n^2}{n^2+1}. [/mm]

Wenn ich dei Kovarianz dazu nehme, erhalte ich allerdings einen Wert [mm] \lambda=0. [/mm]

Der Kovarianzterm lautet
[mm] 2*\lambda*\bruch{n+1}{n}*(1-\lambda)*(n+1)*cov(X_{1:n},X_{n:n})= [/mm]
[mm] =2*\lambda*(1-\lambda)*\bruch{(n+1)^2}{n}*\bruch{n^2}{(n+1)^2(n+2)}*\theta^2= [/mm]
[mm] =2*\lambda*(1-\lambda)*\bruch{n}{n+2}*\theta^2. [/mm]

[mm] \theta^2 [/mm] kann ich aus allen Summanden herausheben und vernachlässigen, das es beim Nullsetzen der Ableitung keine Rolle mehr spielt.

Bezug
        
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Effizienz (Ordnungsstatistik): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Di 13.11.2007
Autor: luis52

Moin chimneytop,

*ich* erhalte

[mm] $\operatorname{Cov}[X_{1:n},X_{n:n}]=\bruch{1}{(n+1)^2(n+2)}\cdot{}\theta^2$ [/mm]


Vielleicht hilft das ja weiter...

lg Luis



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Effizienz (Ordnungsstatistik): Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 15:50 Di 13.11.2007
Autor: chimneytop

Ach ja, ich hab ja [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n}) [/mm] genommen. Aber müssten die nicht symmetrisch sein. [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n})=Cov(X_{1:n},X_{n:n}). [/mm]

Mit deinem Ergebnis funktionierts jetzt. [mm] \lambda=\bruch{n}{n-1}, [/mm] was mir schon sehr gut gefällt. Allerdings ist jetzt [mm] \lambda>1. [/mm] Wenn ich zeige, dass die Funktion auf (0,1) monoton fällt, lautet mein Ergebnis: Das Minimum wird für [mm] \lambda=1 [/mm] angenommen. Oder?

Danke nochmal!

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 16:03 Di 13.11.2007
Autor: chimneytop

Sorry, hab mich verrechnet. Minimum bei [mm] \lambda=1. [/mm] Alles klar jetzt, vielen Dank!!!

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Di 13.11.2007
Autor: luis52


> Ach ja, ich hab ja $ [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n}) [/mm] $ genommen. Aber müssten die nicht symmetrisch sein. $
> [mm] Cov(X_{n:n},X_{1:n})=Cov(X_{1:n},X_{n:n}). [/mm] $

Jaja, du hast schon Recht. Aber die Formel gilt fuer $r<s$ (hab's inzwischen ergaenzt)

> Mit deinem Ergebnis funktionierts jetzt. $ [mm] \lambda=\bruch{n}{n-1}, [/mm] $ was mir schon sehr gut gefällt. Allerdings ist jetzt $
> [mm] \lambda>1. [/mm] $ Wenn ich zeige, dass die Funktion auf (0,1) monoton fällt, lautet mein Ergebnis: Das Minimum wird für $ [mm] \lambda=1 [/mm] > $ angenommen. Oder?

Hm, koenntest du mal deine Zielfunktion mitteilen? Ich meine, sie lautet


[mm] $g(\lambda)= \lambda^2\frac{1}{n(n+2)}+(1-\lambda)^2\frac{n}{n+2}+2\lambda(1-\lambda)\frac{1}{n(n+2)}$. [/mm]

Fuer sie erhalte ich ein Minimum bei [mm] $\lambda=1$. [/mm]

lg Luis



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Effizienz (Ordnungsstatistik): Rao Cramer
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 14:13 Mi 14.11.2007
Autor: chimneytop

Stimmt. Das erhalte ich jetzt auch:

[mm] Var(\theta_\lambda)=\bruch{\theta^2}{n(n+2)}[\lambda^2+(1-\lambda)^2n^2+2\lambda(1-\lambda)]. [/mm]

Eine weitere Frage: gleichmäßig kleinste Varianz klingt für mich nach Rao-Cramer-Schranke.

Wenn der Schätzer effizient ist, müsste in der Cramer-Rao-Ungleichung doch Gleichheit gelten.

[mm] f(x,\theta)=\bruch{1}{\theta} [/mm] (Gleichverteilung)


[mm] E(\bruch{\partial log(f(x,\theta)}{\partial \theta})^2=...=\bruch{1}{\theta^2}. [/mm]


[mm] I_n(\theta)=\bruch{n}{\theta^2}. [/mm]


Also lautet die Abschätzung:

[mm] V_\theta(\theta_\lambda)>=\bruch{1}{I_n(\theta)}=\bruch{\theta^2}{n}. [/mm]

Für den Schätzer mit [mm] \lambda=1 [/mm] gilt hier keine Gleichheit. Er unterschreitet sogar die angegebene Schranke:

[mm] V_\theta(\theta_1)=\bruch{\theta^2}{n(n+2)} [/mm] < [mm] \bruch{\theta^2}{n}! [/mm]

Wo liegt da der (Denk?)fehler?

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mi 14.11.2007
Autor: luis52

Moin chimneytop,

vielleicht hast du ja Zugang zu einer Mathebibliothek und findest dort

Introduction to the Theory of Statistics (McGraw-Hill Series in
Probability and Statistics) (Hardcover) by Alexander McFarlane Mood
(Author), Franklin A. Graybill (Author), Duane C. Boes

Inbesondere die Seiten 315-21 sind in diesem Zusammenhang relevant.

Es sieht danach, dass du die RCU hier nicht anwenden kannst, da die
Gleichverteilung in [mm] $(0,\theta)$ [/mm] die erforderlichen Regularitaetsbedingen
nicht erfuellt (der Traeger haengt von [mm] $\theta>0$ [/mm] ab).  Siehe

[]http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r-Rao_bound

(die zweite Regularitaetsbedingung)


lg Luis          

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Danke
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 17:27 Mi 14.11.2007
Autor: chimneytop

Danke! Werd mir das morgen in der Bibliothek suchen.

Gibt es noch ein anderes Kriterium, dass man hier anwenden kann oder ist der Lösungsweg über die Ableitung der Varianz der gefragte (bin mir da nämlich nicht ganz sicher, ob das Bsp. so zu lösen ist wie ichs angesetzt hab)?

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Effizienz (Ordnungsstatistik): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mi 14.11.2007
Autor: luis52

Sehe keine gravierenden Fehler. Du erhaeltst einen sauguten Schaetzer
der e.t. ist und dessen Varianz sehr schnell verschwindet. Jedenfalls
schneller als die Varianz von [mm] $2\bar X=2\sum X_i/n$, [/mm] der ebenfalls e.t.
ist.

lg Luis

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