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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Eigenschaft Summe von Vektoren
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Eigenschaft Summe von Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Mo 15.01.2007
Autor: pleaselook

Aufgabe
Zeigen Sie:
Sind die Vektoren [mm] v_1, v_2, [/mm] . . . , [mm] v_n [/mm] eines Vektorraumes V linear unabhängig, so sind auch die Vektoren [mm] w_i =\summe_{i=1}^{n} v_i [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n linear unabhängig.

also ist ja: [mm] w_1=\vec{v_1}, w_2=\vec{v_1}+\vec{v_2}, w_3=\vec{v_1}+\vec{v_2}+\vec{v_3} [/mm]
Klar ist mir das schon, dass wenn die Summanden lin. unabhängig sind, dann auch die einzelnen Summen untereinander, die sich ja um mind. einen Summanden unterscheiden unabh. sein müssen.
Wie kann ich das nun nett in Form eines Beweises aufschreiben, oder reicht das schon?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenschaft Summe von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Mo 15.01.2007
Autor: DaMenge

Hi und [willkommenmr],

in deiner Formel ist ein wenig was falsch gelaufen, oder?
also die summe fuer [mm] w_i [/mm] soll bestimmt nur bis i gehen und der Index der Summe soll bestimmt anders heissen als i...

aber du hast ja auch die ersten drei [mm] w_i [/mm] mal extra hingeschrieben, so dass man weiss, was du meinst.

also prosa schreiben allein reicht wohl nicht, du musst schon die Definition von linearer unabhaengigkeit verwenden !

Ich wuerde deine aufgabe mit Widerspruch loesen, also ein solcher Ansatz:
angenommen die [mm] w_i [/mm] waeren abhaengig, dann gibt es eine nicht-triviale Darstellung der 0, wie folgt:
[mm] $a_1*w_1+\ldots +a_n*w_n=0$ [/mm] mit mindestens einem [mm] $a_i\not= [/mm] 0$

Jetzt setze doch mal fuer jedes [mm] w_i [/mm] die Darstellung als Summe der [mm] v_i [/mm] ein und fasse alles zusammen auf der linken Seite, was hast du dann gefunden, wenn mindestens ein [mm] $a_i\not= [/mm] 0$ gilt?

viele Gruesse
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Eigenschaft Summe von Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Mo 15.01.2007
Autor: pleaselook

Ok. Hatte das so ähnlich probiert, jedoch ohne Erfolg.
Hier nochmal:
es gilt:  
[mm] a_1\vec{w_1}+a_2\vec{w_2}+...+a_3\vec{w_n} [/mm] = 0 mit [mm] a_n\not=0, [/mm] wenn lin. abhängig.
[mm] a_1\summe_{i=1}^{1}v_i+a_2\summe_{i=1}^{2}v_i+a_3\summe_{i=1}^{3}v_i+...+a_2\summe_{i=1}^n v_i=0 [/mm]
[mm] (a_1v_1)+(a_2(v_1+v_2)+...+(a_n(v_1+v_2+...+v_n))=0 [/mm]
[mm] v_1(a_1+a_2+...+a_n)+v_2(a_2+a_3+...+a_n)+...+v_n(a_n)=0 [/mm]

Kann ich jetzt sagen, dass [mm] (a_1+a_2+...+a_n)=0 [/mm] usw. sein muß, da laut vorraussetzung [mm] v_1+v_2 [/mm] oder [mm] v_1+v_2+v_3 [/mm] nich 0 sein dürfen, da lin. unabh.?  

Bezug
                        
Bezug
Eigenschaft Summe von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mo 15.01.2007
Autor: DaMenge

Hallo,

> [mm]a_1\vec{w_1}+a_2\vec{w_2}+...+a_3\vec{w_n}[/mm] = 0 mit
> [mm]a_n\not=0,[/mm] wenn lin. abhängig.
>  
> [mm]a_1\summe_{i=1}^{1}v_i+a_2\summe_{i=1}^{2}v_i+a_3\summe_{i=1}^{3}v_i+...+a_2\summe_{i=1}^n v_i=0[/mm]
>  
> [mm](a_1v_1)+(a_2(v_1+v_2)+...+(a_n(v_1+v_2+...+v_n))=0[/mm]
>  [mm]v_1(a_1+a_2+...+a_n)+v_2(a_2+a_3+...+a_n)+...+v_n(a_n)=0[/mm]
>  

da sind zwar ein paar tippos drin, aber die letzte zeile ist schon genau das, was ich meinte, ja !

> Kann ich jetzt sagen, dass [mm](a_1+a_2+...+a_n)=0[/mm] usw. sein
> muß, da laut vorraussetzung [mm]v_1+v_2[/mm] oder [mm]v_1+v_2+v_3[/mm] nich 0
> sein dürfen, da lin. unabh.?  

hier kann ich dir nicht ganz folgen..
Was versuchst du denn da?
Versuchst du einen Widerspruch zu erzeugen oder versuchst du dir ekt zu zeigen, dass alle [mm] a_i [/mm] gleich 0 sein muessen (weil die [mm] v_i [/mm] ja als linear unabhaengig vorrausgesetzt waren) ?!?
Das solltest du also nochmal genau machen und ruhig auch aufschreiben, wovon du ausgehst und was woraus folgt...

viele Gruesse
DaMenge

Bezug
                                
Bezug
Eigenschaft Summe von Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 15.01.2007
Autor: pleaselook

Erstmal ein dickes Danke! für die Hilfe.
Beweis komplett:
sei [mm] v_1, v_2,...,v_n [/mm] je lin. unabh.
[mm] \Rightarrow a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+...+a_nv_n=0 [/mm] mit [mm] a_n=0 [/mm] und somit ** [mm] \summe_{i=1}^n a_i [/mm] =0 [mm] 1\le i\le [/mm] n

zeige:
[mm] a_1\vec{w_1}+a_2\vec{w_2}+...+a_n\vec{w_n} [/mm] =
[mm] a_1\summe_{i=1}^{1}v_i+a_2\summe_{i=1}^{2}v_i+a_3\summe_{i=1}^{3}v_i+...+a_2\summe_{i=1}^n v_i= [/mm]
[mm] (a_1v_1)+(a_2(v_1+v_2)+...+(a_n(v_1+v_2+...+v_n))= [/mm]
[mm] v_1(a_1+a_2+...+a_n)+v_2(a_2+a_3+...+a_n)+...+v_n(a_n)=0, [/mm] den nach Voraussetzung gilt: (**) [mm] \Box [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Eigenschaft Summe von Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:01 Mo 15.01.2007
Autor: DaMenge

Hallo,


>  Beweis komplett:
>  sei [mm]v_1, v_2,...,v_n[/mm] je lin. unabh.
>  [mm]\Rightarrow a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+...+a_nv_n=0[/mm] mit [mm]a_n=0[/mm]
> und somit ** [mm]\summe_{i=1}^n a_i[/mm] =0 [mm]1\le i\le[/mm] n
>  

ok, also willst du es direkt beweisen, na gut.

> zeige:
>  [mm]a_1\vec{w_1}+a_2\vec{w_2}+...+a_n\vec{w_n}[/mm] = ...


nein, was du jetzt zeigen musst ist:
[mm] $b_1\vec{w_1}+b_2\vec{w_2}+...+b_n\vec{w_n}=0 \Rightarrow b_i=0 \forall [/mm] i$

(verwende deine [mm] a_i [/mm] nicht doppelt, sonst kommt nur Verwirrung auf)

also musst du nach der Umformung zu:

> [mm][mm] v_1(b_1+b_2+...+b_n)+v_2(b_2+b_3+...+b_n)+...+v_n(b_n)=0 [/mm]

noch folgern, dass alle [mm] b_i=0 [/mm] sind, weil alle Koeffizienten vor den [mm] v_i [/mm] gleich 0 sein müssen !

viele Grüße
DaMenge

Bezug
                                                
Bezug
Eigenschaft Summe von Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Mo 15.01.2007
Autor: pleaselook

Gut. Meinte das auch so.
Danke nochmal.

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