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Eigenschaften Körper und Ring: Unterschied zw. Körper u. Ring
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Fr 19.09.2008
Autor: Dr.Weber

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Untersuche gerade die Eigenschaften eines Ringes und eines Körpers. Worin besteht da der Unterschied und muss man das inverse Element bezüglich der Multiplikation (bzw"*") untersuchen???

Eigenschaften Körper:
Jeweils für "Addition" und "Multiplikation" prüfen:
Assoziativität neutrales Element inverses Element
Kommutativität,

dann noch die Distributivgesetze und die Abgeschlossenheit.

Bei einem kommutativen unitären Ring muss man das doch auch alles prüfen(Wo ist der Unterschied zum Körper). Das inverse der Multiplikation auch???

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Eigenschaften Körper und Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Fr 19.09.2008
Autor: Merle23

Das "dumme" an Ringen ist, dass es eben i.A. keine multiplikativ-inversen Elemente gibt.
[mm] \IZ [/mm] ist ein Ring, aber die 2 hat kein multiplikativ Inverses (welches ja [mm] \frac{1}{2} [/mm] sein müsste).

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Eigenschaften Körper und Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Fr 19.09.2008
Autor: Dr.Weber

Ja gut aber bei Körpern muss dies also gegeben sein oder was??? Und was ist denn der Unterschied zwischen Körper und Ring wenn wenn der ring ein multiplikatives inverses Element hätte??? Gibt es soetwas überhaupt??? Danke für die Bemühungen!!! ;)
Gruß Dr.Weber

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Bezug
Eigenschaften Körper und Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Fr 19.09.2008
Autor: Merle23


> Ja gut aber bei Körpern muss dies also gegeben sein oder
> was??? Und was ist denn der Unterschied zwischen Körper und
> Ring wenn wenn der ring ein multiplikatives inverses
> Element hätte??? Gibt es soetwas überhaupt??? Danke für die
> Bemühungen!!! ;)
> Gruß Dr.Weber

Ja, bei einem Körper bildet die Addition eine abelsche Gruppe und die Multiplikation (mit Ausnahme der Null) ebenfalls.

Der Unterschied zwischen Körper und Ring besteht in der Multiplikation. Bei einem "einfachen" Ring sind nur die Assoziativität der Multiplikation und die Distributivgesetze (es sind zwei, wenn der Ring nicht kommutativ ist) gefordert.
Dem Ring "fehlen" also bzgl. der Multiplikation das neutrale Element, die inversen Elemente und die Kommutativität.
Es gibt aber auch Ringe, die sowas erfüllen. Diese nennt man dann eben kommutative Ringe bzw. Ring mit Eins.
Ein Körper ist also auch ein Ring (aber eben nicht umgekehrt).

[mm] \IZ [/mm] ist eben z.B. ein kommutativer Ring mit Eins.

> Und was ist denn der Unterschied zwischen Körper und
> Ring wenn wenn der ring ein multiplikatives inverses
> Element hätte???

DAS multiplikativ Inverse gibt es nicht. Im Gegensatz zum neutralen Element, wovon es nur eins gibt pro Rechenoperation, kann es zu jedem Element ein anderes Inverses geben.

> Gibt es soetwas überhaupt???

Da jeder Körper auch ein Ring ist... ja, es gibt Ringe, wo es auch inverse Elemente gibt.
Ein Beispiel für einen Ring, der zwar inverse Elemente hat aber kein Körper ist, sind die []Quaternionen. Ihnen "fehlt" die Kommutativität der Multiplikation.

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Eigenschaften Körper und Ring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Fr 19.09.2008
Autor: Dr.Weber

OK!!!
Alss gibt es zwar Ringe mit einem inversen Element, aber man muss es nicht unbedingt nachprüfen, wenn man wissen will ob eine Menge ein Ring ist. Aber wenn man wissen will ob es ein Körper ist schon, oder???
Damit wäre dann ein Körper ein kommutativer unitärer Ring mit einem inversen Element bezüglich der Multiplikation.

Stimmts??? Gruß Dr.Weber

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Eigenschaften Körper und Ring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Fr 19.09.2008
Autor: Dr.Weber

Kann mir nicht noch grad jemand die letzte frage beantworten damit ich weiß, dass es richtig ist???

Gruß Dr.Weber

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Eigenschaften Körper und Ring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Fr 19.09.2008
Autor: Merle23

Nicht so ungeduldig... die Leute hier machen es in ihrer Freizeit, da kannste nicht verlangen, dass du sofort immer eine Antwort kriegst.

> OK!!!
>  Alss gibt es zwar Ringe mit einem inversen Element, aber
> man muss es nicht unbedingt nachprüfen, wenn man wissen
> will ob eine Menge ein Ring ist. Aber wenn man wissen will
> ob es ein Körper ist schon, oder???

Richtig. Wobei ich wieder darauf hinweise, dass es nicht -das- eine inverse Element gibt.

Nimm z.B. [mm] \IR, [/mm] ist ja ein Körper (also auch Ring). Es gibt genau ein neutrales Element pro Rechenoperation (die 1 und die 0). Aber es gibt mehrere inverse Elemente (je eins pro Element der Menge - ausser der Null, die hat kein multiplikativ Inverses) - [mm] \frac{1}{3} [/mm] ist Inverses zu 3 und [mm] \pi [/mm] ist Inverses zu [mm] \frac{1}{\pi}. [/mm]

>  Damit wäre dann ein Körper ein kommutativer unitärer Ring
> mit einem inversen Element bezüglich der Multiplikation.

Wieder dasselbe wie oben... nicht "mit einem inversen Element", sondern "mit einem inversen Element für jedes Körperelement ausser der Null".

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Eigenschaften Körper und Ring: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:25 Fr 19.09.2008
Autor: Dr.Weber

OK, danke für die Hilfe und Sorry für die Ungedult. Hat mir sehr geholfen!!!
Gruß Dr.Weber

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