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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektor berechnen
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Eigenvektor berechnen: Probleme mit LGS
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Do 22.03.2018
Autor: Pacapear

Hallo zusammen.

Ich soll die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix [mm] $\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 }$ [/mm] berechnen.

Die Eigenwerte habe ich schon: 2 und -1

Jetzt hänge ich am Eigenvektor zum Eigenwert 2.

Meine Rechnung dazu ist folgende:

[mm] $\left[ \pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 } - 2*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \right] [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]

[mm] $\pmat{ -7 & 0 & 7 \\ 6 & 0 & -6 \\ -4 & 0 & 0 }* \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]

I -7x + 7z = 0
II 6x - 6z = 0
III -4x + 4z = 0

Diese Gleichungen haben sich ja auf.

Wenn ich dann also jetzt mit der ersten weiterrechne, bekomme ich x=z.

Also ist mein Eigenvektor [mm] $\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{z \\ y \\ z}$. [/mm]

Aber was setze ich für y ein?

Danke und VG,
Nadine

        
Bezug
Eigenvektor berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Do 22.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich soll die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix [mm]\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 }[/mm]
> berechnen.

>

> Die Eigenwerte habe ich schon: 2 und -1

Ja, die stimmen. [ok]

(Der Vollständigkeit halber sollte man anmerken, dass der Eigenwert 2 die algebraische Vielfachheit 2 besitzt, also könnte die geometrische Vielfachheit ebenfalls gleich 2 sein!).

> Jetzt hänge ich am Eigenvektor zum Eigenwert 2.

>

> Meine Rechnung dazu ist folgende:

>

> [mm]\left[ \pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6 } - 2*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \right] * \vektor{x \\ y \\ z} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]

>

> [mm]\pmat{ -7 & 0 & 7 \\ 6 & 0 & -6 \\ -4 & 0 & 0 }* \vektor{x \\ y \\ z} = \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]

>

> I -7x + 7z = 0
> II 6x - 6z = 0
> III -4x + 4z = 0

Auch richtig (in der Matrix ist unten rechts ein Tippfehler, 0 anstatt 4).

> Diese Gleichungen haben sich ja auf.

>

Ja, und das ist zunächst einmal eine wichtige Erkenntnis. Denn das muss man jetzt geeignet interpretieren.

> Wenn ich dann also jetzt mit der ersten weiterrechne,
> bekomme ich x=z.

Auch das ist korrekt und führt zum ersten von zwei Eigenvektoren zu diesem Eigenwert, nämlich

[mm]\vec{v}_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>

> Also ist mein Eigenvektor [mm]\vektor{x \\ y \\ z} = \vektor{z \\ y \\ z}[/mm].

>

So einfach ist es nicht. Die Tatsache, dass die Lösungsmenge deines LGS von y unabhängig ist, heißt ja im Prinzip, dass y beliebig gewählt werden kann. Das führt zu einem weiteren Eigenvektor [mm] v_2: [/mm]

[mm]\vec{v}_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]

Deine Version ist die Menge aller Linearkombinationen dieser beiden Eigenvektoren. Das nennt man einen Eigenraum (der Begriff taucht in der nächsten Antwort auf).


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Eigenvektor berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Do 22.03.2018
Autor: Pacapear

Hallo!


> Ja, und das ist zunächst einmal eine wichtige Erkenntnis.
> Denn das muss man jetzt geeignet interpretieren.
>  
> > Wenn ich dann also jetzt mit der ersten weiterrechne,
>  > bekomme ich x=z.

>  
> Auch das ist korrekt und führt zum ersten von zwei
> Eigenvektoren zu diesem Eigenwert, nämlich
>  
> [mm]\vec{v}_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]

Wie kommst du jetzt hier darauf, dass y=0 ist?
Weiter unten schreibst du, dass man y ja im Grunde frei wählen kann.
Warum dann z.B. nicht [mm]\vec{v}_1= \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]?



> So einfach ist es nicht. Die Tatsache, dass die
> Lösungsmenge deines LGS von y unabhängig ist, heißt ja
> im Prinzip, dass y beliebig gewählt werden kann. Das
> führt zu einem weiteren Eigenvektor [mm]v_2:[/mm]
>  
> [mm]\vec{v}_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> Deine Version ist eine Linearkombination aus beliebigen
> Vielfachen dieser beiden Eigenvektoren.
>  
>
> Gruß, Diophant

VG Nadine


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Bezug
Eigenvektor berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 22.03.2018
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du hattest herausgefunden, daß alle Eigenvektoren von der Gestalt

[mm] \vektor{z\\y\\z} [/mm] sind mit z,y beliebig.

Also kann man jeden Eigenvektor schreiben als

[mm] z*\vektor{1\\0\\1}+y*\vektor{0\\1\\0} [/mm] mit z,y beliebig.

Die beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes.

LG Angela

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Eigenvektor berechnen: Basis des Eigenraums
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Do 22.03.2018
Autor: Pacapear

Hallo.

> Die beiden Vektoren [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes.


Das mit dem Eigenraum und seiner Basis habe ich noch nicht verstanden, was das genau ist.

Also ist es immer so, dass die Basisvektoren des Eigenraums die gesuchten
Eigenvektoren sind?



VG Nadine

Bezug
                                        
Bezug
Eigenvektor berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Do 22.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

ja: jede Basis des Eigenraums besteht aus Eigenvektoren. Man könnte in diesem Fall also etwa auch

[mm] v_1=(1,2,1)^T [/mm]
[mm] v_2=(2,3,2)^T [/mm]

als Eigenvektoren angeben, da sie linear unabhängig sind und daher ebenfalls eine Basis dieses Eigenraums bilden.

Setzt man die jeweils nicht betrachteten Variablen gleich Null, so wie ich das getan habe, bekommt man sozusagen die 'kanonische Basis', wenn du so willst. Und es ist m.W. üblich, so vorzugehen.


Gruß, Diophant

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Bezug
Eigenvektor berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Fr 23.03.2018
Autor: Pacapear

Hallo,



> Du hattest herausgefunden, daß alle Eigenvektoren von der
> Gestalt
>  
> [mm]\vektor{z\\y\\z}[/mm] sind mit z,y beliebig.
>  
> Also kann man jeden Eigenvektor schreiben als
>  
> [mm]z*\vektor{1\\0\\1}+y*\vektor{0\\1\\0}[/mm] mit z,y beliebig.
>  
> Die beiden Vektoren [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes.



Irgendwie bin ich grad durcheinander.

Das heißt, alle Vektoren, die sich in dem Eigenraum befinden, sind alle Linearkombinationen aus  [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]?

Wobei  [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]  Eigenvektoren sind, und die daraus gebildeten Linearkombinationen sind auch Eigenvektoren?



VG Nadine

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Bezug
Eigenvektor berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:12 Fr 23.03.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > Du hattest herausgefunden, daß alle Eigenvektoren von der
> > Gestalt
> >
> > [mm]\vektor{z\\y\\z}[/mm] sind mit z,y beliebig.
> >
> > Also kann man jeden Eigenvektor schreiben als
> >
> > [mm]z*\vektor{1\\0\\1}+y*\vektor{0\\1\\0}[/mm] mit z,y beliebig.
> >
> > Die beiden Vektoren [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> > bilden zusammen eine Basis des Eigenraumes.

>
>
>

> Irgendwie bin ich grad durcheinander.

>

> Das heißt, alle Vektoren, die sich in dem Eigenraum
> befinden, sind alle Linearkombinationen aus
> [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]?

Ja, genau. [ok]

>

> Wobei [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] Eigenvektoren
> sind, und die daraus gebildeten Linearkombinationen sind
> auch Eigenvektoren?

Ja*. Letztendlich hat ja jeder Vektor die geforderte Eigenschaft. Wie ich in meiner anderen Antwort schon geschrieben habe, müssen eben zwei linear unabhängige Vektoren angegeben werden, damit sie den vorliegenden Eigenraum aufspannen.

Geometrisch kann man sich das so veranschaulichen: die lineare Abbildung, die durch deine Matrix gegeben ist, bildet den [mm] \IR^3 [/mm] auf sich selbst ab. Dabei wird die Ebene

E: x-z=0

ebenfalls auf sich selbst abgebildet und zwar so, dass jeder Punkt in dieser Ebene unter dieser Abbildung seinen Abstand zum Ursprung verdoppelt (das sagt dir der Eigenwert 2).

Also kann man natürlich jeden Vektor, der in dieser Ebene liegt, als Eigenvektor bezeichnen.

*EDIT: bis auf den Nullvektor natürlich, wie fred97 in seiner Antwort richtig geschrieben hat. Mein Versehen!


Gruß, Diophant

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Bezug
Eigenvektor berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Fr 23.03.2018
Autor: fred97


>  
> Wobei  [mm]\vektor{1\\0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]  Eigenvektoren
> sind, und die daraus gebildeten Linearkombinationen sind
> auch Eigenvektoren?

Nein. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor. Damit sind alle Linearkombinationen [mm] \ne [/mm] 0 wieder Eigenvektoren.

>  
>
>
> VG Nadine


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