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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Eigenvektor bestimmen
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Eigenvektor bestimmen: Rückfrage, Idee, Tipp, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 So 14.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

gegeben ist [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]

Es soll nun der Eigenvektor bestimmt werden, welcher hier in der Lösung mit [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] angegeben ist.

Mir ist jedoch nicht klar, wie ich den Eigenvektor berechne!?

Könnt ihr mir da einen Tipp/Vorgehensweise nennen?

Danke!

        
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Eigenvektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 14.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

setze

[mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm]

und löse für jeden Eigenwert [mm] \lambda_i [/mm] das LGS

[mm] (A-\lambda*E)*x=0 [/mm]

(Ich habe gerade nicht die Zeit, das hier durchzurechnen. Falls sich jemand findet, der das nachholen möchte: sind die Eigenwerte die aus dem anderen Thread?)


Gruß, Diophant

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Eigenvektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Mo 15.01.2018
Autor: fred97

Zu lösen ist das LGS

$ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]   $

Das führt auf die Gleichungen

2y=0

2x-2y+2z=0,

also auf y=0 und z=-x.

Kommst Du damit weiter ?


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Eigenvektor bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:36 Mo 15.01.2018
Autor: Diophant

Moin Fred,

sehe ich das richtig: du nimmst an, dass die angegebene Matrix bereits die Form [mm] A-\lambda*E [/mm] besitzt?


Gruß, Diophant

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Eigenvektor bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Mo 15.01.2018
Autor: fred97


> Moin Fred,
>  
> sehe ich das richtig: du nimmt an, dass die angegebene
> Matrix bereits die Form [mm]A-\lambda*E[/mm] besitzt?

Hallo Diophant,

ja, davon bin ich ausgegangen


>  
>
> Gruß, Diophant


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Eigenvektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Mo 15.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo Fred,

vielen Dank für die Antwort!

Ich habe das Vorgehen so verstanden.

Du schreibst z=-x, was ja dann eben auch passend zur Lösung der Aufgabe ist.

Eine vielleicht triviale Frage habe ich aber noch:

Ist es falsch, wenn ich -z=x und dann als Lösung [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] schreibe?
Denn so kann ich die zweite Gleichung doch dann auch umstellen, oder nicht?

Vielen Dank für die Hilfe!

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Eigenvektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mo 15.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Du schreibst z=-x, was ja dann eben auch passend zur
> Lösung der Aufgabe ist.

>

> Eine vielleicht triviale Frage habe ich aber noch:

>

> Ist es falsch, wenn ich -z=x und dann als Lösung [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
> schreibe?

Eigenvektoren haben eine wichtige geometrische Eigenschaft (sofern man die zugrundeliegende lineare Abbildung geometrisch interpretiert): ihre Richtung ist bei Anwendung dieser Abbildung auf den Urbildraum invariant. Das verdeutlicht, weshalb jedes Vielfache eines Eigenvektors (bis auf den Nullvektor) wieder ein Eigenvektor ist.

Deshalb kannst du das hier nach deinem Gechmack entscheiden.


Gruß, Diophant

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Eigenvektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mo 15.01.2018
Autor: Dom_89

Eine Sache ist mir doch noch eingefallen:

Wenn ich die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3} [/mm] habe und auch hier den Eigenvektor ermitteln möchte, erhalte ich dann doch die Lösung [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ -1} [/mm]

Ich habe ja die Gleichungen

I 3y+z = 0
II y+3z = 0

Oder verstehe ich das an dieser Stelle falsch?

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Eigenvektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mo 15.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Eine Sache ist mir doch noch eingefallen:

>

> Wenn ich die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3}[/mm]
> habe

Was meinst du damit? Eine Matrix A ist ja auch immer eine lineare Abbildung. Diese besitzt ggf. Eigenwerte [mm] \lambda_i, [/mm] und die Eigenvektoren sind Lösungen des LGS

[mm] (A-\lambda_i*E)*x=0 [/mm]

(E: Einheitsmatrix)

Du musst hier also ersteinmal (aus gegebenem Anlass, weil es im Themenstart auch schon der Fall war) dazusagen, um welche Matrix es jetzt geht.

- Um die ursprüngliche lineare Abbildung oder
- Um eine Matrix der Form [mm] A-\lambda*E [/mm]

?

und auch hier den Eigenvektor ermitteln möchte,

> erhalte ich dann doch die Lösung [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1}[/mm]

>

> Ich habe ja die Gleichungen

>

> I 3y+z = 0
> II y+3z = 0

>

Wenn das stimmt (also wenn es bereits um die Matrix [mm] A-\lambda*E [/mm] für einen bestimmten Eigenwert [mm] \lambda [/mm] geht), dann ist die Lösung des LGS hier y=z=0 und x ist beliebig. Also wäre hier jeder Vektor der Form

[mm] k*\vektor{1\\0\\0} [/mm] , [mm] k\ne{0} [/mm]

ein Eigenvektor.


Gruß, Diophant

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Eigenvektor bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Do 25.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

ich muss nochmal zu diesem Thema fragen, da ich es leider immer noch nicht ganz durchschaut habe :(

Hier mal ein kleines Beispiel:

y'(t) = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 } [/mm]

Mit einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 2 ergibt sich dann ja

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 } [/mm]

in der Lösung wird nun der Eigenvektor mit [mm] x=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] angegeben.

Hier verstehe ich leider immer noch nicht, wie man den Eigenvektor ermittelt. Vielleicht könnt ihr mir das anhand des o.g. Beispiels (gerne auch weitere Beispiele) nochmal näher bringen!?

Vielen Dank

Bezug
                
Bezug
Eigenvektor bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Do 25.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> ich muss nochmal zu diesem Thema fragen, da ich es leider
> immer noch nicht ganz durchschaut habe :(

>

> Hier mal ein kleines Beispiel:

>

> y'(t) = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 }[/mm]

>

> Mit einem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] = 2 ergibt sich dann ja

>

> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 }[/mm]

>

> in der Lösung wird nun der Eigenvektor mit [mm]x=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> angegeben.

>

> Hier verstehe ich leider immer noch nicht, wie man den
> Eigenvektor ermittelt. Vielleicht könnt ihr mir das anhand
> des o.g. Beispiels (gerne auch weitere Beispiele) nochmal
> näher bringen!?

Das LGS

[mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 }*x=0[/mm]

besitzt den Lösungsvektor

[mm]x= \vektor{k \\ 0 \\ 0}[/mm]

Das bedeutet, dass für [mm] k\ne{0} [/mm] jeder Vektor der obigen Form Eigenvektor zum Eigenwert k=2 ist.

(Das [mm] x_1=k [/mm] ist, ist der Tatsache geschuldet, dass die erste Zeile eine Nullzeile ist).

Anwesende Forenmitglieder aus Ostfriesland mögen mir verzeihen, aber an vergleichbaren Stellen verzapfe ich im Unterricht gerne den folgenden (natürlich sehr tragischen) 'Witz' und analysiere ihn anschließend:

Die ostfriesische Nationalbibliothek musste geschlossen werden. Jemand hatte das Buch geklaut.

Genau so ist es hier: es gibt nicht den Eigenvektor, sondern wenn du einen gefunden hast, dann ist jedes Vielfache davon (außer das Nullfache) per Definition auch ein Eigenvektor. Also sage in Zukunft: ein Eigenvektor ist der oder jener und eben nicht der Eigenvektor.

Zum besseren Verständnis dieses Konzepts habe ich dir schon einmal geraten, dir die geometrische Bedeutung von Eigenvektoren und ihren zugehörigen Eigenwerten anzuschauen. Aber da solltest du schon ein vernünftiges LinAlg-1-Buch zu Rate ziehen, meiner Meinung nach jedenfalls.


Gruß, Diophant

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Eigenvektor bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:06 Mo 05.02.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe!

Ich habe mir das Thema Eigenvektoren nun nochmal intensiv angeschaut und ein besseres Verständnis hierfür gewonnen.

Bezug
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