Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo ich brauche eure Hilfe bei einer Aufgabe.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrizen.
(
-1 -1 2 1
3 2 -3 0
0 -1 1 1
3 0 -3 2
Das war viel rechenarbeit, aber ich habe irgendwo wieder einen Fehler gemacht.
Zuerst mal meine 3 unterdeminanten entwickelt nach der dritten Zeile:
1. -6+9lambda [mm] -3lambda^2
[/mm]
2. -4 [mm] +2lambda+3lambda^2 [/mm] -4 [mm] lambda^3 [/mm] + [mm] lambda^4
[/mm]
3. Ist gleiche wie erste
Ist es so richtig? |
Hab die frage in keinem forum gestellt.
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> Hallo ich brauche eure Hilfe bei einer Aufgabe.
>
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen
> Eigenvektoren der Matrizen.
>
> (
> -1 -1 2 1
> 3 2 -3 0
> 0 -1 1 1
> 3 0 -3 2
Hallo,
Du willst das charakteristische Polynom von [mm]\pmat{-1 & -1& 2 & 1\\
3 & 2 & -3 & 0\\
0 & -1 & 1 & 1\\
3 & 0 & -3 & 2}[/mm] haben, also
det [mm]\pmat{-1-x & -1& 2 & 1\\
3 & 2-x & -3 & 0\\
0 & -1 & 1-x & 1\\
3 & 0 & -3 & 2-x}[/mm].
Du darfst hier Zeilen- und Spalten addieren, ohne daß sich das charakteristische Polynom ändert.
So kannst Du weitere Nullen erzeugen, was die Berechnung der Determinante dann erleichtert.
Wenn Du z.B. die 2. zur 4.Spalte addierst, bekommst Du
det [mm]\pmat{-1-x & -1& 2 & 0\\
3 & 2-x & -3 & 2-x\\
0 & -1 & 1-x & 0\\
3 & 0 & -3 & 2-x}[/mm],
jetzt könntest Du z.B. nochmal was mit der 2. und 4.Zeile machen, die 4. von der 2. subtrahieren.
Danach dürfte die Berechnung schon angenehmer sein.
Weiterer Tip: zunächst möglichst wenig Klammern ausmultiplizieren, sondern erstmal gucken, ob man sie irgendwie noch ausklammern kann.
LG Angela
> Das war viel rechenarbeit, aber ich habe irgendwo wieder
> einen Fehler gemacht.
> Zuerst mal meine 3 unterdeminanten entwickelt nach der
> dritten Zeile:
> 1. -6+9lambda [mm]-3lambda^2[/mm]
>
> 2. -4 [mm]+2lambda+3lambda^2[/mm] -4 [mm]lambda^3[/mm] + [mm]lambda^4[/mm]
>
> 3. Ist gleiche wie erste
>
> Ist es so richtig?
> Hab die frage in keinem forum gestellt.
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | evor ich wieder einen Fehler mache , meine matrix sieht nun so aus , nachdem ich die 4 von der 2subtrahiert hab:
iST sie soweit richtig?
\begin{-1-lambda -1 2 0 }\end
0 -2-lambda 0 0
0 -1 1-lambda 0
3 0 -3 2-lambda |
Bevor ich wieder einen Fehler mache , meine matrix sieht nun so aus , nachdem ich die 4 von der 2subtrahiert hab:
iST sie soweit richtig?
\begin{-1-lambda -1 2 0 }
0 -2-lambda 0 0
0 -1 1-lambda 0
3 0 -3 2-lambda
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Ah leute ich habe meinen Fehler selber entdeckt und habe folgendes Polynom raus:
[mm] \lambda^4-4\lambda^3+3\lambda^2+4\lambda-4 [/mm] .
Aber wie kriege ich nun am einfachsten die eigenwerte raus?
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Hallo,
bei dieser Gleichung kann man zwei sehr einfache ganzzahlige Werte unmittelbar ablesen:
[mm] x_1=1
[/mm]
( da die Summe der Koeffizienten Null ist)
[mm] x_2=-1
[/mm]
(da die Differenz aus: Summe der Koeffizienten der geradzahligen Potenzen minus Summe der Koeffizienten der ungeradzahligen Potenzen ebenfalls Null ergibt)
Diese beiden kannst du in der Form [mm] x^2-1 [/mm] per Polynomdivision abspalten, um nach weiteren Eigenwerten zu suchen.
Gruß, Diophant
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Wieso muss ich eigentlich polynomdivision durch [mm] x^2 [/mm] - 1
durchführen?
Ich hätte die Polynomdivision durch x-1 gemacht.
Kannst du mir das erklären?
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Hallo,
wenn du durch x-1 teilst, bekommst du eine Gleichung 3. Ordnung, und die Raterei geht von vorne los (außer du beherrschst die Cardano-Formel flüssig  ).
Ich habe dir zwei Lösungen angegeben, inkl. den jeweiligen Grundüberlegungen, wie man auf selbige kommt. Und wenn du gleich durch [mm] x^2-1 [/mm] divivierst, bekommst du eine quadratisches Polynom als Resultat, welches du mit der Mitternachtsformel vollends zerlegen kannst.
Alternativ kann man natürlich erst durch x-1 und anschließend durch x+1 dividieren, aber das ist doch viel mehr Arbeit. 
Gruß, Diophant
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Hast recht. Aber ich muss dich leider wieder kurz stören .
Ich bin irgendwie in der Polynomdivision stecken geblieben.
Hab das ehrlich gesagt auch lange nicht mehr gemacht.
[mm] x^4 -4x^3+3x^2+4x [/mm] -4 / [mm] (x^2 [/mm] - 1) = [mm] x^2 [/mm] +1 und jetzt weiss ich irgendwie nicht weiter.
Bitte hilf mir
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Hallo, die Polynomdivision ist falsch
[mm] (x^4-4x^3+3x^2+4x-4):(x^2-1)=x^2-4x+4
[/mm]
[mm] -(x^4-x^2)
[/mm]
----------
[mm] -4x^3+4x^2
[/mm]
[mm] -(-4x^3+4x)
[/mm]
-----------
[mm] 4x^2
[/mm]
[mm] -(4x^2-4)
[/mm]
---------
0
du bekommst also die reellen Eigenwerte -1, 1, 2, 2
Steffi
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Ich verstehe nicht so ganz wie du da unten nach dem Bruchstrich auf [mm] -4x^3 +4x^2 [/mm] kommst.
wenn du mir bitte noch das irgendwie erklären kannst.
Ich hatte gedacht da kommt [mm] -4x^3 +x^2
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Di 24.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Elektro!
Rechne doch mal:
[mm] $x^4-4x^3+3x^2+4x-4-\left(x^4-x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] x^4-4x^3+3x^2+4x-4-x^4+x^2 [/mm] \ = \ ...$
Was verbleibt bei den höchsten Potenzen?
Gruß
Loddar
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Hallo, wenn du den Schritt nicht erkennst, so schreibe
[mm] x^4-4x^3+3x^2
[/mm]
[mm] -(x^4+0x^3-x^2)
[/mm]
------------------------
[mm] -4x^3+4x^2
[/mm]
Steffi
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Ah cool danke steffi .
Jetzt ist alles klar.
Tut mir leid leute aber ihr müsst mir noch ein paar tips geben .
Nun versuche ich gerade den eigenvektor für x= 1 zu berechnen.
Jetzt habe ich folgendes LGS:
-2x1 -x2 +2x3 +x4=0
3x1 +x2 -3x3 = 0
-x2 +x4 = 0
3x1 - 3x3 +x4 = 0
Ich hab jetzt probleme . Wenigstens paar tipps bräuchte ich noch.
An dieser stelle nochmals danke für eure Geduld.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 24.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah cool danke steffi .
> Jetzt ist alles klar.
> Tut mir leid leute aber ihr müsst mir noch ein paar tips
> geben .
>
> Nun versuche ich gerade den eigenvektor für x= 1 zu
> berechnen.
>
> Jetzt habe ich folgendes LGS:
> -2x1 -x2 +2x3 +x4=0
>
> 3x1 +x2 -3x3 = 0
>
> -x2 +x4 = 0
>
> 3x1 - 3x3 +x4 = 0
>
> Ich hab jetzt probleme . Wenigstens paar tipps bräuchte
> ich noch.
> An dieser stelle nochmals danke für eure Geduld.
Tipp: Gaußalgorithmus, Stufenform
FRED
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Hallo leute ich hab jetzt Gauß angewendet.
Aber inwieweit bringt mich das weiter?
Hab zuerst 2-4 Spalte gerechnet .
Danach 3 + 4 spalte und folgende matrix bekommen.
(
-2 -1 2 1
3 1 -3 0
0 -1 0 1
0 0 0 0
Aber was mache ich jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib es wieder als Gleichungen und du hast mit der unteren 0*x4?0 [mm] x_4 [/mm] beliebig =r, dann die vorletzt Zeile, dann die davor, usw. so kriegst du alle x.
gruss leduart
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Also ich hab ja jetzt folgendes gleichungssystem vorliegen:
-2x1 -x2 +2x3 x4=0
3x1 +x2 -3x3= 0
-x2 +x4 = 0
Aber was mache ich jetzt .
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Hallo, schreibe ich die erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] \pmat{ -2 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
leduart hat dir doch die Antwort gegeben, setze [mm] x_4=r [/mm] ein frei wählbarer Parameter
aus Zeile 3 folgt:
[mm] -x_2+r=0
[/mm]
[mm] x_2=r
[/mm]
jetzt in die 2 Zeile, setzte [mm] x_3=s [/mm]
[mm] 3x_1+r-3s=0
[/mm]
[mm] x_1=s-\bruch{1}{3}r=0
[/mm]
jetzt mit [mm] x_1=s-\bruch{1}{3}r, x_2=r, x_3=s [/mm] und [mm] x_4=r [/mm] in die 1. Zeile
[mm] -2s+\bruch{2}{3}r-r+2s+r=0
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}r=0
[/mm]
daraus folgt r=... also [mm] x_2=x_4=...
[/mm]
Steffi
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Dann müsste doch r= 0 sein oder ?
Aber wie lautet denn genau dann mein eigenvektor?
Ist der vektor dann:
0
0
0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wir schreiben r frei wählbar, deine Reaktion>. dann muss r=0 sein???
Wenn du so was schreibst, denk wirklich mal 3 minuten über eine begrüpndung nach, warom r=0 sein soll, ich denke, wenn du due dann aufschreibst merkst du deinen denkfehler selbst.
Also alles was man behauptet oder erst mal si "denkt" vor sich und dem rest der Welt begründen.
Gruss leduart
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Ich glaube r = 3/2
Aber wie schreibe ich dann genau denn eigenvektor>>?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf den Glauben? den überlasse den Religionen und in mathe begründe.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
kannst du mir sagen wie es richtig lautet falls es falsch isT?
Ich möchte endlich mit dieser aufgabe fertig werden bitte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das will ich eigentlich nicht 3/2 ist einer von millionen richtigen Werten für r!
Es sollte dir klar sein dass wenn v ein eigenvektor istm dann auch a*v a reell .
Warum liest du die posts so ungenau? wenn es dir nicht ums Verstehen geht, schreib einfach bei Kollegen ab, ist dann nur schlecht bei Klausuren.
Steffi hat fast alles vorgerechnet, sie und ich haben gesagz r ist beliebig, deine reaktin darauf ist Werte für r zu raten oder zu "glauben"
Gruss leduart
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Auch wenn es vielleicht nicht wirkt .
Ich möchte es schon verstehen .
Ich denke 2/3 r ein Parameter des vektors ist.
So?
(
0
2/3 r
0
Ansonsten weiss ich auch nicht was ich machen soll.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 24.04.2012 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo in den matheraum, ich habe mich an dieser Lösung beteiligt, alle Hochachtung vor leduart, aber ich habe Zweifel, ich fasse mal zusammen, damit Ihr nicht alles lesen braucht, gegeben war:
[mm] \pmat{ -1 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & -3 & 2 }
[/mm]
relle Eigenwerte sind: -1, 1, 2, 2
Berechnung Eigenvektor für Eigenwert 1 ergibt
[mm] \pmat{ -2 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -3 & 1 }
[/mm]
Aufstellung GLS ergibt die erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] \pmat{ -2 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -3 & 1 & 0}
[/mm]
durch Umformung
[mm] \pmat{ -2 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] x_4=r [/mm] frei wählbarer Parameter
aus Zeile 3 folgt [mm] x_2=r
[/mm]
[mm] x_3=s [/mm] frei wählbarer Parameter
aus Zeile 2 folgt [mm] x_1=s-\bruch{1}{3}r
[/mm]
Einsetzen in Zeile 1 zur Probe
[mm] -2s+\bruch{2}{3}r-r+2s+r=0
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}r=0
[/mm]
Jetzt beginnen meine Fragen:
(1)
ich wollte Elektro21 zu der Erkenntnis führen r=0, also NICHT mehr frei wählbar, ist das korrekt?
(2)
somit ist [mm] x_1=x_3=s [/mm] frei wählbar, ist das korrekt?
(3)
Eigenvektor zu Eigenwert 1 ist (s 0 s 0), ist das korrekt?
(4)
EIN Eigenvektor zu Eigenwert 1 ist (1 0 1 0), ist das korrekt?
Eigentlich sieht man ja an der erweiterten Koeffizientenmatrix [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] ist gleich Null
wer hilft mir, ich danke Euch
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffi
du hast in allem Recht! und elektro seine Lösung.
Gruss leduart
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Eigenvektor zu Eigenwert 1 ist (s 0 s 0), ist das korrekt?
(4)
EIN Eigenvektor zu Eigenwert 1 ist (1 0 1 0), ist das korrekt?
Kann mir das jemand noch erklären , das ist mir noch nicht so klar geworden.
Wie kommt ihr darauf?
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Hallo, durch die Lösung des GLS bekommst du die Lösung
[mm] x_1=s
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_3=s
[/mm]
[mm] x_4=0
[/mm]
s ist ein frei wählbarer Parameter, also kann s=1 sein, dann hast du EINEN Eigenvektor, du kannst ebenso s=5 oder s=745 oder s=-1234 wählen, es gibt also beliebig viele Eigenvektoren für den Eigenwert 1, für dich zum Üben, du hattest ja
[mm] -2x_1-x_2+2x_3+x_4=0
[/mm]
[mm] 3x_1+x_2-3x_3=0
[/mm]
[mm] -x_2+x_4=0
[/mm]
[mm] 3x_1-3x_3+x_4=0
[/mm]
setze mal für [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] die Null ein und für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] jeweils die gleiche Zahl, du bekommst immer eine wahre Aussage
Steffi
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Kurze frage Steffi .
Ich versuch jetzt den eigenvektor für eigenwert -1 zu berechnen:
Ich wollt nur fragen ob meine ansätze soweit richtig sind.
Zuerst matrix
(
0 -1 2 0
3 3 -3 3
0 -1 2 0
2 0 -3 3
Dann habe ich 2 spalte -4 und 1 spalte minus 3 spalte:
0 -1 2 0
3 3 -3 3
0 0 0 0
1 3 0 0
LGS Wäre:
-x2 +2x3 =0
3x1 + 3x2 -3x3 +3x4=0
x1 +3x2 = 0
Kann ich jetzt z.B für x2 = r einsetzen:
x1+3r=0
x1= -3r
Ich weiss nicht ob das so richtig ist.
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leute ich hab bisschen weiter probiert und habe folgenden eigenvektor raus:
( t
-1/3 t
-1/6t
5/6 t )
Kann dieser vektor stimmen?
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Hallo,
ob ein errechneter Eigenvektor richtig ist, kannst Du selcbst prüfen, indem Du ihn mit der Matrix multiplizierst: es muß das [mm] \lambda-fache [/mm] dieses Vektors herauskommen, hier das 1-fache, denn es soll ja ein EV zum EW 1 sein.
LG Angela
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> Kurze frage Steffi .
>
> Ich versuch jetzt den eigenvektor für eigenwert -1 zu
> berechnen:
>
> Ich wollt nur fragen ob meine ansätze soweit richtig
> sind.
> Zuerst matrix
>
> (
>
> 0 -1 2 0
> 3 3 -3 3
> 0 -1 2 0
> 2 0 -3 3
Hallo,
wo kommt diese Matrix her?
Bearbeitest Du eine neue Aufgabe?
Ich blicke gerade nicht durch hier.
> Dann habe ich 2 spalte -4 und 1 spalte minus 3 spalte:
Wenn Du ein LGS lösen möchtest, darfst Du nie, nie, nie Spaltenumformungen machen!
Immer bloß mit den Zeilen arbeiten.
LG Angela
>
> 0 -1 2 0
> 3 3 -3 3
> 0 0 0 0
> 1 3 0 0
>
>
> LGS Wäre:
>
> -x2 +2x3 =0
>
> 3x1 + 3x2 -3x3 +3x4=0
> x1 +3x2 = 0
>
>
> Kann ich jetzt z.B für x2 = r einsetzen:
>
> x1+3r=0
>
> x1= -3r
>
> Ich weiss nicht ob das so richtig ist.
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Hallo Elektro21, ich habe noch den Überblick von gestern, jetzt möchtest du den Eigenvektor zum Eigenwert -1 berechnen, du bekommst die erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 0 & -3 & 3 & 0}
[/mm]
neue 4. Zeile: Zeile 2 minus Zeile 4
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0 & -3 & 0}
[/mm]
neue 4. Zeile: 3 mal Zeile 3 plus Zeile 4
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 6 & 0 & 0}
[/mm]
aus Zeile 4 folgt:
[mm] x_3=0
[/mm]
aus Zeile 3 folgt:
[mm] x_4=t [/mm] somit [mm] x_2=t
[/mm]
aus Zeile 2 folgt:
[mm] 3x_1+3t=0 [/mm] somit [mm] x_1=-t
[/mm]
aus Zeile 1 folgt:
Probe i.O.
Eigenvektor ist: (-t t 0 t)
EIN Eigenvektor (z.B. für t=1) ist: (-1 1 0 1)
Steffi
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Naja ich hatte in der ursprünglichen Matrix für Lambada -1eingesetzt und bin dann auf die Matrix gekommen . Ist die matrix richtig oder falsch?
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> -1eingesetzt und bin dann auf die Matrix gekommen . Ist die
> matrix richtig oder falsch?
Hallo,
stell doch bitte Deine Fragen so, daß klar ist, worauf Du Dich beziehst.
Falls Du Dich auf meinen Beitrag beziehst:
die Ausgangsmatrix war doch A=$ [mm] \pmat{-1& -1& 2 & 1\\ 3 & 2 & -3 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & -3 & 2} [/mm] $,
und es ist
A-(-1)*E=$ [mm] \pmat{0 & -1& 2 & 1\\ 3 & 3 & -3 & 0\\ 0 & -1 & 2 & 1\\ 3 & 0 & -3 & 3} [/mm] $.
Dies ist nicht die Matrix, mit welcher Du in Deiner Frage, auf die ich geantwortet habe, arbeitest.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:29 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Elektro21 |
Äh ok . Aber wie Kriege ich jetzt hier für den eigenwert -1 den Eigenbetrieb raus?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Elektro21 |
Tschuldigung verschrieben eigenvektor
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> Äh ok . Aber wie Kriege ich jetzt hier für den eigenwert
> -1 den Eigenbetrieb raus?
Hallo,
ömm - daß die Posts hier zum Lesen geschrieben werden, ist aber klar, oder?
Vielleicht solltest Du das mal mit Steffis Beitrag tun.
Dort wurde doch alles vorgerechnet.
LG Angela
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det[mm]\pmat{-1-\lambda & -1 & 2 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 0 & 0\\
0 & -1 & 1-\lambda &0\\
3 & 0 & -3 & 2-\lambda}[/mm]
Hallo,
ich schrieb doch zuvor sinngemaß, daß Du niht blindlings die Klammern ausmultiplizieren sollst.
Schau, wie Du hier die Nullstellen nun geschenkt bekommst:
nach der zweiten Zeile entwickeln:
det[mm]\pmat{-1-\lambda & -1 & 2 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 0 & 0\\
0 & -1 & 1-\lambda &0\\
3 & 0 & -3 & 2-\lambda}[/mm][mm] =(2-\lambda)*det[/mm] [mm]\pmat{-1-\lambda & 2 & 0 \\
0 & 1-\lambda &0\\
3 & -3 & 2-\lambda}[/mm]
(Entwickeln nach der 2.Zeile:)
[mm] =(2-\lambda)(1-\lambda)*det[/mm] [mm]\pmat{-1-\lambda & 0 \\
3 & 2-\lambda}[/mm]
[mm] =(2-\lambda)(1-\lambda)(-1-\lambda)(2-\lambda).
[/mm]
LG Angela
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Hi leute , die aufgabe geht ja leider noch ein kleines bisschen.
Zuerst mal die Matrix :
(
-3 -1 2 1
3 0 -3 0
0 -1 -1 1
3 0 -3 0
Wie soll ich vorgehen jetzt?
Ich hab gedacht das ich euch diesmal zuerst frage , weil
sonst wirds wieder ein durcheinander.
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> Hi leute , die aufgabe geht ja leider noch ein kleines
> bisschen.
>
> Zuerst mal die Matrix :
>
> (
>
> -3 -1 2 1
> 3 0 -3 0
> 0 -1 -1 1
> 3 0 -3 0
>
>
> Wie soll ich vorgehen jetzt?
Hallo,
diese Matrix bringst Du jetzt am besten erstmal durch Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. (Gaußalgorithmus)
Wenn die ZSF steht, können wir recht schnell eine Basis des Eigenraumes bestimmen. Gewiß hilft Dir dann jemand dabei.
LG Angela
>
> Ich hab gedacht das ich euch diesmal zuerst frage , weil
> sonst wirds wieder ein durcheinander.
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Hallo leute ich hab mal Gauß angewendet.
Nun habe ich die Matrix:
Hab 1 zeile + letzte zeile:
-3 -1 2 1
3 0 -3 0
0 -1 -1 1
0 -1 -1 1
Dann letzte zeile - 3zeile
-3 -1 2 1
3 0 -3 0
0 0 0 0
0 -1 -1 1
Soweit ok ?
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Hallo, bis hier ok, Steffi
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Ok jetzt wieder mal meine grösste problemstelle LGS:
-3x1 -1x2+2x3+1x4= 0
3x1-3x3= 0
-1x2-1x3 + 1x4=0
-1x2 -1x3 + 1x4=0
Ok ich versuch mal jetzt zu berechnen:
x1=t
3t - 3x3=0
-3x3= -3t
x3 = 1
Wie gehe ich jetzt weiter vor?
Ich verstehe nicht so ganz welchen werten , ich so einfach einen Parameter geben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorgfältiger rechnen!
3t - 3x3=0
-3x3= -3t
x3 = 1
wie kommst du auf die letzte Zeile?
wenn du bei einem ergebnis nicht sicher bist, setz es in die gl ein:
dann stünde da 3t-3=0 Hä?
rechne alle x aus, dann setz sie selbst zur Probe in alle 3 Gleichungen ein, dazu brauchst du uns nicht.
du scheinst mit unserer Hilfe immer unselbständiger zu werden. für jeden gerechneten F.. nen post und wir sollen ja oder nein sagen ist nix für studis! rechne zu ende, mache selber die Probe, wenns nicht stimmt, rechne neu. erst nach 5 vergeblichen Versuchen der nächste post!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Elektro21 |
tschuldigung es kommt natürlich t raus.
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Aber leider habe ich jetzt so meine Probleme .
Ich brauch einen tipp von euch.
Wie bekomme ich jetzt z.b x4 raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Do 26.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo was ist mit den 5 versuchen? rechne vor, was du bisher gemacht hast!
wir liefern nicht einfach immer weiter Lösungen, dabei lernst du nix
schreib ordentlich auf, so wie dir das steffi vorgemacht hat!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 05:16 Do 26.04.2012 | | Autor: | Elektro21 |
Ok hier mein Versuch aber ich:
-3t -1x2 +2t + x4=0
X2 = s
X4= t-s aber so komme ich irgendwie nicht weiter.
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> Ok hier mein Versuch aber ich:
>
> -3t -1x2 +2t + x4=0
>
> X2 = s
> X4= t-s aber so komme ich irgendwie nicht weiter.
Hallo,
bitte überstrapaziere uns nicht...
Wir helfen Dir wirklich gern, und ich denke, an unserer Hilfsbereitschaft hast Du prinzipiell auch keinen Zweifel.
Aber mach's uns doch ein wenig bequem! Bedenke: Deine Aufgabe ist für uns nicht so aufregend, daß wir sie auf einem Zettel neben uns liegen haben oder gar alles im Kopf. Es macht auch wenig Freude, sich durch den ganzen Thread zu klicken.
Ich würde jetzt gerne die Koeffizientenmatrix des LGS sehen, welches gelöst werden soll, dazu die ZSF. (Kannst Du doch ganz leicht reinkopieren...)
Und dann Deinen Lösungsversuch. Halt so, daß man alles gleich im Blick hat. Die [mm] x_i [/mm] mit gescheiten Indizes, also nicht xi.
LG Angela
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Hier alles auf einen Blick:
Zuerst mal die Matrix :
(
-3 -1 2 1
3 0 -3 0
0 -1 -1 1
3 0 -3 0
Hab 1 zeile + letzte zeile:
-3 -1 2 1
3 0 -3 0
0 -1 -1 1
0 -1 -1 1
Dann letzte zeile - 3zeile
-3 -1 2 1
3 0 -3 0
0 0 0 0
0 -1 -1 1
LGS:
-3x1 -1x2+2x3+1x4= 0
3x1-3x3= 0
-1x2-1x3 + 1x4=0
-1x2 -1x3 + 1x4=0
Ok ich versuch mal jetzt zu berechnen:
x1=t
3t - 3x3=0
-3x3= -3t
x3 = t
Weiter wusste ich ja nicht wie ich richtig vorgehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Do 26.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Elektro!
Was spricht eigentlich aus Deiner Sicht dagegen, dass Du Dich etwas mit unserem Formeleditor vertraut machst und diesen hier verwendet?
Gruß
Loddar
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> Hier alles auf einen Blick:
Hallo,
ja, so ist das viel bequemer.
Du solltest Dich aber mal mit der Formeleingabe im Forum vertraut machen.
Irgendwo im Thread hatte ich schöne Matrizen gepostet. Doppelklickst Du darauf, dann siehst Du, wie sie gemacht sind.
Einstellige Indizes bekommst Du mit einem Unterstrich.
>
> Zuerst mal die Matrix :
>
> (
>
> -3 -1 2 1
> 3 0 -3 0
> 0 -1 -1 1
> 3 0 -3 0
>
>
> Hab 1 zeile + letzte zeile:
>
> -3 -1 2 1
> 3 0 -3 0
> 0 -1 -1 1
> 0 -1 -1 1
>
> Dann letzte zeile - 3zeile
>
> -3 -1 2 1
> 3 0 -3 0
> 0 0 0 0
> 0 -1 -1 1
Das ist schon ganz nett - aber noch keine Zeilenstufenform. (Nachlesen, was eine ZSF ist!)
In der Zeilenstufenform stehen nämlich unter den führenden Zeilenelementen nur Nullen, und Du solltest wirklich bis zur Zeilenstufenform arbeiten:
Addierst Du die 1. Zeile zur 2., so bekommst Du
[mm] \pmat{-3&-1&2&1\\0&-1&-1&1\\0&0&0&0\\0&-1&-1&1}.
[/mm]
Auch unter der -1 in der 2. Zeile müssen Nullen stehen.
Subtrahieren der 2. von der 4. Zeile liefert
[mm] \pmat{\red{-3}&-1&2&1\\0&\red{-1}&-1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0}
[/mm]
Damit haben wir eine ZSF deiner Matrix gefunden.
Kochrezept:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) stehen in Spalte 1 und 2. Dann können die 3. und 4. Variable frei gewählt werden.
Mit
[mm] x_4=t
[/mm]
[mm] x_3=s
[/mm]
bekommt man aus der 2.Zeile
[mm] -x_2-x_3+x_4=0
[/mm]
<==>
[mm] x_2=-x_3+x_4=-s+t,
[/mm]
und aus der 1.Zeile
[mm] -3x_1-x_2+2x_3+x_4=0 [/mm]
<==>
[mm] x_1=-\bruch{1}{3}x_2-\bruch{2}{3}x_3+\bruch{1}{3}x_4=-\bruch{1}{3}(-s+t)+\bruch{2}{3}s+\bruch{1}{3}t=s.
[/mm]
Also haben alle Lösungen (hier: Lösungen=Eigenvektoren) die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{s\\-s+t\\s\\t}=s*\vektor{1\\-1\\1\\0}+t*\vektor{0\\1\\0\\1},
[/mm]
und die beiden Vektoren sind eine Basis des Eigenraumes.
LG Angela
P.S.: ZSF/Gaußalgorithmus unbedingt üben! Ist wirklich nützlich und es wird erwartet, daß man ihn kann.
> LGS:
>
> -3x1 -1x2+2x3+1x4= 0
>
> 3x1-3x3= 0
> -1x2-1x3 + 1x4=0
> -1x2 -1x3 + 1x4=0
>
> Ok ich versuch mal jetzt zu berechnen:
>
> x1=t
>
> 3t - 3x3=0
> -3x3= -3t
> x3 = t
>
> Weiter wusste ich ja nicht wie ich richtig vorgehen soll.
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Do 26.04.2012 | | Autor: | Elektro21 |
Hallo leute danke für eure Geduld und Hilfe.
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