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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert, Eigenraum
Eigenwert, Eigenraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwert, Eigenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Mo 23.04.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix, wobei [mm] \lambda \in \IK. [/mm] Ist A diagonalisierbar?
[mm] A=\pmat{ \lambda & 1&& \\ &\lambda&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&\lambda} [/mm]
wo nichts steht ist eine 0

s..Eigenwert
Ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist, also nehme ich einen belieben wert k an?
0= det(A-s*I) [mm] =\pmat{ \lambda -s & 1&& \\ &\lambda-s&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&\lambda-s} [/mm] = [mm] (\lambda-s)^k [/mm]

[mm] 0=\lambda [/mm] - s
s= [mm] \lambda [/mm]
STimmt das?

Eigenraum [mm] \lambda [/mm] = [mm] ker(A-\lambda I_k [/mm] ) = [mm] ker\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\&&\ddots&1\\&&&0} [/mm]
der Kern wird aufgespannt vom vektor  [mm] <\pmat{0\\0\\\vdots\\0\\1}> [/mm]
Da bin ich mir unsicher..


        
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mo 23.04.2012
Autor: wieschoo


> Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume der Matrix, wobei
> [mm]\lambda \in \IK.[/mm] Ist A diagonalisierbar?
>  [mm]A=\pmat{ \lambda & 1&& \\ &\lambda&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda}[/mm]
>  
> wo nichts steht ist eine 0
>  s..Eigenwert
>  Ich weiß ja nicht wie groß die Matrix ist, also nehme
> ich einen belieben wert k an?
>  0= det(A-s*I) [mm]=\blue{\operatorname{det}(}\pmat{ \lambda -s & 1&& \\ &\lambda-s&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&\lambda-s}\blue{)}[/mm]
> = [mm](\lambda-s)^k[/mm]
>  
> [mm]0=\lambda[/mm] - s
>  s= [mm]\lambda[/mm]
> STimmt das?

Die Eigenwerte sind schon die [mm] $\lambda$'s. [/mm] Kann man ja direkt ablesen.

>  
> Eigenraum [mm]\lambda[/mm] = [mm]ker(A-\lambda I_k[/mm] ) = [mm]ker\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}[/mm]
>  
> der Kern wird aufgespannt vom vektor  
> [mm]<\pmat{0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1}>[/mm]
>  Da bin ich mir unsicher..
>

Dan rechne doch einmal [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1}[/mm] nach. Und kommt Null raus?

gruß
WIESCHOO

Bezug
                
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 23.04.2012
Autor: theresetom

Nein

$ [mm] \pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0} [/mm] $
Also spannt [mm] <\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}> [/mm] den Kern auf.

Frage: Ist A diagonlaisierbar?
Der Kern ist 1 dimensional.
Aber ich weiß nicht wieviele Spalten meine Matrix hat. Wenn die Matrix nur 1 zeile und Spalte hat - ist sie diagonalisierbar.


Bezug
                        
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mo 23.04.2012
Autor: wieschoo


> Nein
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}[/mm]
> Also spannt [mm]<\pmat{1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0}>[/mm] den Kern auf.
>

Ich kann ja meine Frage noch einmal stellen ;-)
Gilt denn [mm]\pmat{ 0 & 1&& \\ &0&\ddots& \\ &&\ddots&1\\ &&&0}\cdot\pmat{0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1}=\vec{0}[/mm] ?
Ja das ist der Kern.

> Frage: Ist A diagonlaisierbar?
>  Der Kern ist 1 dimensional.
> Aber ich weiß nicht wieviele Spalten meine Matrix hat.
> Wenn die Matrix nur 1 zeile und Spalte hat - ist sie
> diagonalisierbar.
>

Genauso ist es.

Bezug
                                
Bezug
Eigenwert, Eigenraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Mo 23.04.2012
Autor: theresetom

danke,lg

Bezug
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