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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert, Vektor
Eigenwert, Vektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwert, Vektor: Wahr oder Falsch?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Fr 11.07.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei $f: [mm] K^n\to [/mm] K$ eine lineare Abbildung und v ein Eigenvektor von f zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Dann ist -v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $-\lambda$. [/mm]

Wahr oder Falsch.

Hi,

ich habe eine Frage zu dieser Wahr-Falsch Frage.
Die Musterlösung sagt, dass die Aussage falsch ist. Das kann ich gerade nicht so ganz nachvollziehen, denn ist

[mm] $f(v)=\lambda\cdot [/mm] v$, dann ist doch

[mm] $-f(v)=-\lambda\cdot [/mm] v$ (mit -1 multipliziert)

[mm] $f(-v)=-\lambda\cdot [/mm] v$ (linearität ausgenutzt)

Also ist -v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $-\lambda$. [/mm]
Wo steckt mein Denkfehler?

        
Bezug
Eigenwert, Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Fr 11.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Sei [mm]f: K^n\to K[/mm] eine lineare Abbildung und v ein
> Eigenvektor von f zum Eigenwert [mm]\lambda[/mm]. Dann ist -v ein
> Eigenvektor zum Eigenwert [mm]-\lambda[/mm].
>  
> Wahr oder Falsch.
>  Hi,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Wahr-Falsch Frage.
> Die Musterlösung sagt, dass die Aussage falsch ist. Das
> kann ich gerade nicht so ganz nachvollziehen, denn ist
>  
> [mm]f(v)=\lambda\cdot v[/mm], dann ist doch
>  
> [mm]-f(v)=-\lambda\cdot v[/mm] (mit -1 multipliziert)
>  
> [mm]f(-v)=-\lambda\cdot v[/mm] (linearität ausgenutzt)
>  
> Also ist -v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]-\lambda[/mm].
>  Wo steckt mein Denkfehler?


Es muss doch laut Aufgabenstellung so sein:

[mm]f(-v)=\left(-\lambda\right)\cdot\left(- v\right)=\lambda*v=f\left(v\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eigenwert, Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Fr 11.07.2014
Autor: YuSul

Das verstehe ich jetzt gerade nicht woran man das an der Aufgabenstellung erkennt.

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert, Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Fr 11.07.2014
Autor: MathePower

Hallo YuSul,

> Das verstehe ich jetzt gerade nicht woran man das an der
> Aufgabenstellung erkennt.


Es steht doch in der Aufgabenstellung:

"Dann ist -v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm]-\lambda[/mm]"

Übersetzt in Formelsprache heisst das:

[mm]f\left(-v\right)=\left(-\lambda\right)*\left(-v\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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