matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - EigenwerteEigenwert nilpotenter Matrizen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert nilpotenter Matrizen
Eigenwert nilpotenter Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwert nilpotenter Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:30 Sa 29.11.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Zeige, dass nilpotente Matrizen nur Eigenwert Null haben.



Hi,

ich habe mir gerade diese Frage gestellt und frage mich, ob man es einfach so beweisen kann.

Da A nilpotent ist existiert ein natürliches k mit [mm] $A^k=0$. [/mm]
Dann ist

[mm] $det(A-\lambda E)=det(A^kA^{-k+1}-\lambda E)=det(-\lambda E)=(-1)^n\lambda^n=0\Rightarrow \lambda=0$ [/mm]

Das müsste doch in Ordnung sein, oder?
Ich nutze aus, dass [mm] $A^k=0$ [/mm] ist, dann fällt dieser Term weg und die Determinante der Einheitsmatrix mit nur [mm] $\lambda$ [/mm] auf der Diagonalen kann ich leicht berechnen.


Edit:

Nein, ich denke meine Rechnung ist nicht richtig, weil der Ausdruck [mm] A^{-k} [/mm] für nilpotente Matrizen nicht definiert sein müsste, da sie nicht invertierbar sind...

        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:26 Sa 29.11.2014
Autor: UniversellesObjekt

Dein Edit stimmt schonmal.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Sa 29.11.2014
Autor: fred97


> Zeige, dass nilpotente Matrizen nur Eigenwert Null haben.
>  
>
> Hi,
>  
> ich habe mir gerade diese Frage gestellt und frage mich, ob
> man es einfach so beweisen kann.
>  
> Da A nilpotent ist existiert ein natürliches k mit [mm]A^k=0[/mm].
> Dann ist
>  
> [mm]det(A-\lambda E)=det(A^kA^{-k+1}-\lambda E)=det(-\lambda E)=(-1)^n\lambda^n=0\Rightarrow \lambda=0[/mm]
>  
> Das müsste doch in Ordnung sein, oder?
>  Ich nutze aus, dass [mm]A^k=0[/mm] ist, dann fällt dieser Term weg
> und die Determinante der Einheitsmatrix mit nur [mm]\lambda[/mm] auf
> der Diagonalen kann ich leicht berechnen.
>  
>
> Edit:
>  
> Nein, ich denke meine Rechnung ist nicht richtig, weil der
> Ausdruck [mm]A^{-k}[/mm] für nilpotente Matrizen nicht definiert
> sein müsste, da sie nicht invertierbar sind...


Sei Ax= [mm] \lambda [/mm] x.

Berechne A^kx.

FRED


Bezug
                
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Sa 29.11.2014
Autor: YuSul

Naja, dann multipliziere ich einfach [mm] $A^{k-1}$ [/mm] mal die Matrix A dazu. Dann ist

[mm] $0=A^{k-1}\lambda [/mm] x$

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Sa 29.11.2014
Autor: tobit09

Hallo YuSul!


Sei $A$ eine nilpotente [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix mit Koeffizienten in einem Körper $K$.

Sei [mm] $\lambda\in [/mm] K$ ein Eigenwert von $A$.
Zu zeigen ist [mm] $\lambda=0$. [/mm]

Da $A$ nilpotent ist, existiert ein [mm] $k\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] mit [mm] $A^k=0$. [/mm]
Da [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von $A$ ist, existiert ein [mm] $x\in K^n$ [/mm] mit [mm] $x\not=0$, [/mm] für das [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$ gilt.


> Naja, dann multipliziere ich einfach [mm]A^{k-1}[/mm] mal die Matrix
> A dazu. Dann ist
>  
> [mm]0=A^{k-1}\lambda x[/mm]

Ja, denn es gilt

(1)     $A^kx=0x=0$ und

(2)     [mm] $A^kx=(A^{k-1}A)x=A^{k-1}(Ax)=A^{k-1}(\lambda [/mm] x)$.

Anstelle von (2) ist eine konkretere Darstellung von $A^kx$ möglich.

Betrachten wir diesen Ausdruck mal für kleine k, um eine Vermutung für beliebige k zu gewinnen:

Im Falle $k=1$ erhalten wir

      [mm] $A^1x=Ax=\lambda [/mm] x$.

Im Falle $k=2$ erhalten wir

      [mm] $A^2x=(AA)x=A(Ax)=A(\lambda x)=\lambda (Ax)=\lambda(\lambda x)=(\lambda\lambda)x=\lambda^2x$. [/mm]

Bringt dich das auf eine Vermutung für beliebiges k?
Wenn ja: Beweise sie durch vollständige Induktion nach k.
Wenn nein: Spiele den Fall k=3 durch.


Viele Grüße
Tobias


Bezug
                                
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Sa 29.11.2014
Autor: YuSul

Ah, ok. Diese Vorgehensweise kann man induktiv fortsetzen bis man eben irgendwann den Nilpotenzgrad k erreicht. Zu dem Zeitpunkt hat man dann aber bereits

[mm] $\lambda^kx=0$ [/mm] da stehen, wegen [mm] $A^k=0$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Sa 29.11.2014
Autor: tobit09


> Ah, ok. Diese Vorgehensweise kann man induktiv fortsetzen
> bis man eben irgendwann den Nilpotenzgrad k erreicht. Zu
> dem Zeitpunkt hat man dann aber bereits
>  
> [mm]\lambda^kx=0[/mm] da stehen, wegen [mm]A^k=0[/mm]

Ja, es gilt [mm] $A^kx=\lambda^kx$ [/mm] und somit erhalten wir in Kombination mit Gleichung (1) aus meiner vorherigen Antwort tatsächlich [mm] $\lambda^kx=0$. [/mm]

Was folgt nun aus [mm] $x\not=0$? [/mm]

(Erinnerung: Ziel ist, [mm] $\lambda=0$ [/mm] zu zeigen.)

Bezug
                                                
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Sa 29.11.2014
Autor: YuSul

Da x nicht Null ist, muss (nach dem Satz vom Nullprodukt) [mm] $\lambda^k=0$ [/mm] sein, also [mm] $\lambda=0$. [/mm]



Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Sa 29.11.2014
Autor: tobit09


> Da x nicht Null ist, muss (nach dem Satz vom Nullprodukt)
> [mm]\lambda^k=0[/mm] sein, also [mm]\lambda=0[/mm].

[ok] Genau so ist es!

Bezug
                                                                
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 Sa 29.11.2014
Autor: YuSul

Gut. :)

Vielen Dank.

Bezug
        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Sa 29.11.2014
Autor: fred97

Allgemein gilt für eine quadratische Matrix A und ein Polynom p:



  ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] p(\lambda) [/mm] ein Eigenwert von p(A).

Zeige dies !

FRED

Bezug
                
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:24 Sa 29.11.2014
Autor: YuSul

Folgt das zufällig einfach aus dem Satz von Cayley Hamilton?

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert nilpotenter Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Sa 29.11.2014
Autor: fred97


> Folgt das zufällig einfach aus dem Satz von Cayley
> Hamilton?


Nein. Und wenn es aus diesem Satz folgen würde, waäre es nicht zufällig.

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]