matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenEigenwert wenn AB=BA
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Eigenwert wenn AB=BA
Eigenwert wenn AB=BA < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwert wenn AB=BA: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Di 16.05.2017
Autor: Krautsultan

Aufgabe
Es seien A,B [mm] \in \IR^{nxn}. [/mm] Die Matrix A habe n paarweise verschiedene relle Eigenwerte. Weiter gelte AB = BA. Zeigen sie:
a) Zu jedem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A existiert ein (reeller) Eigenvektor v [mm] \in\IR^{n}. [/mm]

b) Jeder Eigenvektor von A ist auch ein Eigenvektor von B.

c) Es existiert eine invertierbare Matrix [mm] C\in\IR^{nxn}, [/mm] sodass sowohl [mm] C^{-1}AC [/mm] als auch [mm] C^{-1}BC [/mm] Diagonalmatrizen sind.

d) Zeigen Sie mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass b) (und damit auch c)) nicht gilt, falls A einen Eigenwert mit algebraischer Multiplizität 2 hat.



Hey, ich stehe grad vor dieser etwas theorielastigen Frage und komme nicht so recht weiter.
Bei a) dachte ich mir, dass die Existenz eines Eigenvektors ja schon durch die Definition des Eigenwerts gegeben ist, denn der Eigenvektor stellt ja den Kern der Matrix [mm] A-\lambda*I [/mm] dar und [mm] \lambda [/mm] wird genau so gewählt, dass die Determinante dieser Matrix = 0 wird. Somit ist die Matrix singulär und der Kern ist nicht mehr trivial. Nun bin ich mir aber nicht sicher, dass das ein gültiger Beweis ist und nicht eher einfach nur so dahergelabert.

Für b) habe ich mir erst überlegt, für welche Matrizen denn AB = BA überhaupt gelten kann. Dies gilt z.B. ja, wenn wie in c) gefragt die Matrix auf diese Art und weise diagonalisierbar ist. Eine weitere Möglichkeit ist, dass A oder B ein vielfaches der Einheitsmatrix ist. Die letzte Möglichkeit die mir in den Sinn gekommen ist, wäre A = B.

Wenn man nun A und B in Diagonalform bringt, dann muss AB = [mm] PJaJbP^{-1} [/mm] gelten, wobei P die Transformationsmatrix und J die jeweilige Diagonalmatrix ist.
Da Ja und Jb in Diagonalform vorliegen kommutieren sie, also gilt BA = [mm] PJbJaP^{-1}. [/mm] Da beide die gleiche Transformationsmatrix verwenden und diese aus den Eigenvektoren besteht, müssen beide die selben Eigenvektorn haben. Ist durch AB = BA diagonalisierbarkeit eindeutig gegeben?

c) Habe ich im Prinzip ja oben gerade verwendet

d) Wenn A einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 hat, dann gibt es eventuell nicht n linear unabhängige Eigenvektoren und die Matrix ist nicht mehr diagonalisierbar sondern nur z.B. als Jordan Normalform darstellbar.

Ich hoffe das ist jetzt nicht zu viel und schonmal vielen Dank für jede Hilfe!

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:

http://www.onlinemathe.de/forum/Eigenwerte-und-Eigenvektoren-falls-AB-BA

        
Bezug
Eigenwert wenn AB=BA: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mi 17.05.2017
Autor: hippias

[willkommenvh]
> Es seien A,B [mm]\in \IR^{nxn}.[/mm] Die Matrix A habe n paarweise
> verschiedene relle Eigenwerte. Weiter gelte AB = BA. Zeigen
> sie:
>  a) Zu jedem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] von A existiert ein
> (reeller) Eigenvektor v [mm]\in\IR^{n}.[/mm]
>  
> b) Jeder Eigenvektor von A ist auch ein Eigenvektor von B.
>  
> c) Es existiert eine invertierbare Matrix [mm]C\in\IR^{nxn},[/mm]
> sodass sowohl [mm]C^{-1}AC[/mm] als auch [mm]C^{-1}BC[/mm] Diagonalmatrizen
> sind.
>  
> d) Zeigen Sie mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass b)
> (und damit auch c)) nicht gilt, falls A einen Eigenwert mit
> algebraischer Multiplizität 2 hat.
>  
>
> Hey, ich stehe grad vor dieser etwas theorielastigen Frage
> und komme nicht so recht weiter.
> Bei a) dachte ich mir, dass die Existenz eines Eigenvektors
> ja schon durch die Definition des Eigenwerts gegeben ist,

Dem stimme ich zu. Zur Sicherheit kannst Du aber gerne eure Definition hier mitteilen, ob es da für Dich nicht doch etwas zu beweisen gibt.

> denn der Eigenvektor stellt ja den Kern der Matrix
> [mm]A-\lambda*I[/mm] dar und [mm]\lambda[/mm] wird genau so gewählt, dass
> die Determinante dieser Matrix = 0 wird. Somit ist die
> Matrix singulär und der Kern ist nicht mehr trivial. Nun
> bin ich mir aber nicht sicher, dass das ein gültiger
> Beweis ist und nicht eher einfach nur so dahergelabert.
>  
> Für b) habe ich mir erst überlegt, für welche Matrizen
> denn AB = BA überhaupt gelten kann.

Das ist eine interesant Idee, die bei anderen Fragen auch zum Erfolg führen kann. Doch glaube ich, dass die Möglichkeiten für $AB=BA$ zu vielfältig sind, als dass dieser Ansatz hier etwas helfen wird.

Überlege Dir, dass $E:= Kern [mm] (A-\lambda)$ [/mm] unter $B$ invariant ist. Nun finde die Dimension von $E$ heraus. Damit und der $B$-Invarianz kann man auf die Behauptung schliessen.

> Dies gilt z.B. ja,
> wenn wie in c) gefragt die Matrix auf diese Art und weise
> diagonalisierbar ist. Eine weitere Möglichkeit ist, dass A
> oder B ein vielfaches der Einheitsmatrix ist. Die letzte
> Möglichkeit die mir in den Sinn gekommen ist, wäre A = B.
>
> Wenn man nun A und B in Diagonalform bringt, dann muss AB =
> [mm]PJaJbP^{-1}[/mm] gelten, wobei P die Transformationsmatrix und J
> die jeweilige Diagonalmatrix ist.
>  Da Ja und Jb in Diagonalform vorliegen kommutieren sie,
> also gilt BA = [mm]PJbJaP^{-1}.[/mm] Da beide die gleiche
> Transformationsmatrix verwenden und diese aus den
> Eigenvektoren besteht, müssen beide die selben
> Eigenvektorn haben. Ist durch AB = BA diagonalisierbarkeit
> eindeutig gegeben?

Diese Frage verstehe ich nicht.

>
> c) Habe ich im Prinzip ja oben gerade verwendet

Du musst Dir klar machen, dass es eine Basis gibt, die aus Eigenvektoren von $A$ und gleichzeitig $B$ besteht; ist eine Anwendung von b)

>  
> d) Wenn A einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2
> hat, dann gibt es eventuell nicht n linear unabhängige
> Eigenvektoren und die Matrix ist nicht mehr
> diagonalisierbar sondern nur z.B. als Jordan Normalform
> darstellbar.

Ja. Du musst aber ein Zahlenbeispiel angeben.

>
> Ich hoffe das ist jetzt nicht zu viel und schonmal vielen
> Dank für jede Hilfe!
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> http://www.onlinemathe.de/forum/Eigenwerte-und-Eigenvektoren-falls-AB-BA


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]