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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte in kompl. Zahlen
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Eigenwerte in kompl. Zahlen: Hife zur Berechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 09.04.2017
Autor: Chrizzldi

Aufgabe
Gegeben ist $A = [mm] \pmat{-1 & 0 & -2 \\0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -4} \in \mathbb{C}$. [/mm]
Bestimme alle Eigenwerte von $A$ und die zugehoerigen Eigenraeume.

Hallo lieber Matheraum,

ich moechte bei obiger Aufgabe erstmal die Eigenwerte bestimmen. Dazu ermittle ich das charakteristische Polynom. Also: $det(A - [mm] (E\cdot \lambda))$ [/mm] und setzte dieses dann gleich Null. Die ermittelten Nullstellen sollten die Eigenwerte von $A$ liefern.

Nun spielt sich das ganze aber in den komplexen Zahlen ab und ich bin mir unsicher wie ich hier am guenstigsten rechnen kann/darf.

Im Grunde sind meine Elemente ja bereits Elemente der [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] sowie sie da stehen. Haben halt alle nur den Realteil, oder irre ich mich da?

Wenn ich dann erstmal ganz normal mein charakteristisches Polynom berechne:
[mm] $det\pmat{-1-x & 0 & -2 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & -4-x}$ [/mm]

Erhalte ich:
$6 - x - 4 [mm] x^2 [/mm] - [mm] x^3$ [/mm]

Und meine Eigenwerte: $-3, -2$ und $1$.

Ich weiß aber nicht wie ich das jetzt in den komplexen Zahlen handhabe.

Vielen Dank fuer eure Hilfe!

Gruesse,
Chris

        
Bezug
Eigenwerte in kompl. Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 So 09.04.2017
Autor: angela.h.b.


> Gegeben ist [mm]A = \pmat{-1 & 0 & -2 \\0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -4} \in \mathbb{C}[/mm].
>  
> Bestimme alle Eigenwerte von [mm]A[/mm] und die zugehoerigen
> Eigenraeume.
>  Hallo lieber Matheraum,
>  
> ich moechte bei obiger Aufgabe erstmal die Eigenwerte
> bestimmen. Dazu ermittle ich das charakteristische Polynom.
> Also: [mm]det(A - (E\cdot \lambda))[/mm] und setzte dieses dann
> gleich Null. Die ermittelten Nullstellen sollten die
> Eigenwerte von [mm]A[/mm] liefern.
>  
> Nun spielt sich das ganze aber in den komplexen Zahlen ab
> und ich bin mir unsicher wie ich hier am guenstigsten
> rechnen kann/darf.
>  
> Im Grunde sind meine Elemente ja bereits Elemente der
> [mm]\mathbb{C}[/mm] sowie sie da stehen. Haben halt alle nur den
> Realteil, oder irre ich mich da?

Hallo,

Du irrst Dich nicht.

>  
> Wenn ich dann erstmal ganz normal mein charakteristisches
> Polynom berechne:
>  [mm]det\pmat{-1-x & 0 & -2 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & -4-x}[/mm]
>  
> Erhalte ich:
> [mm]6 - x - 4 x^2 - x^3[/mm]
>  
> Und meine Eigenwerte: [mm]-3, -2[/mm] und [mm]1[/mm].

Und dies sind Deine komplexen Eigenwerte. Schließlich sind die ganzen Zahlen Teilmenge der komplexen.

LG Angela

>  
> Ich weiß aber nicht wie ich das jetzt in den komplexen
> Zahlen handhabe.
>  
> Vielen Dank fuer eure Hilfe!
>  
> Gruesse,
>  Chris  


Bezug
        
Bezug
Eigenwerte in kompl. Zahlen: Tippfehler, allgemeiner Rat
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 So 09.04.2017
Autor: tobit09

Hallo Chrizzldi!


> Gegeben ist [mm]A = \pmat{-1 & 0 & -2 \\0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -4} \in \mathbb{C}[/mm].

> Wenn ich dann erstmal ganz normal mein charakteristisches
> Polynom berechne:
>  [mm]det\pmat{-1-x & 0 & -2 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 1 & 0 & -4-x}[/mm]

Entweder in der Aufgabenstellung oder hier hast du dich bei der unteren linken Komponente vertippt.
Steht in der Aufgabenstellung hier -1 oder 1?


Ein paar grundsätzliche Hinweise noch, nachdem ich deine heutigen beiden Threads überflogen habe:

Theoretisch kann man jedes Rechenverfahren (z.B. Matrizen invertieren, Eigenvektoren/-räume berechnen) für jeden "in der Praxis (Übungsaufgaben bzw. Klausur) vorkommenden" Grundkörper (z.B. [mm] $\IR$, $\IQ$, $\IC$, $\IZ_p$ [/mm] für Primzahlen p) separat studieren.
Man studiert dann zunächst das Verfahren für den vertrauten Körper [mm] $\IR$ [/mm] und führt dann für jeden weiteren "typischen" Körper das benötigte Verfahren auf das bekannte Verfahren für [mm] $\IR$ [/mm] zurück.
Dabei ignoriert man dann die eigentliche Bedeutung der vorkommenden Symbole und spult einen formalen Algorithmus ab.

Von einem solchen Vorgehen rate ich dringend ab. Gründe:
- Da müsste man zu jedem Rechenverfahren zig Varianten für die verschiedenen Körper lernen.
- Man ist für jede Variante auf "Experten" angewiesen, die einem die Variante beibringen.
- Man lernt Algorithmen auswendig, ohne sie zu verstehen.
- Man treibt aus meiner Sicht ein relativ sinnloses Spiel mit Symbolen anstatt Mathematik.

Etwas Tolles an der linearen Algebra ist, dass weite Teile der in den ersten Semestern behandelten Theorie und Rechenverfahren für beliebige Körper völlig gleich funktionieren!
Man braucht daher jedes Rechenverfahren nur einmal zu lernen, solange man die einzelnen Körper verstanden hat!

Mein Rat daher: Denke nicht an [mm] $K=\IR$, [/mm] wenn es nicht um [mm] $K=\IR$ [/mm] geht.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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