matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - EigenwerteEigenwerte und Bijektivität
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und Bijektivität
Eigenwerte und Bijektivität < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte und Bijektivität: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Mo 12.03.2012
Autor: Mathegirl

Aufgabe
a) hat F den Eigenwert -2, so ist [mm] F^2+2F [/mm] nicht bijektiv.
b) hat [mm] F^2+F [/mm] den Eigenwert -1, so hat [mm] F^3 [/mm] den Eigenwert 1.

Ich bin gerade am Lernen für die Klausur und da ist mir diese Aufgabe zugefallen.

Ich weiß aber nicht wie ich a) und b) zeigen kann.

Wie man Eigenwerte berechnet ist mir klar: charaktereistisches Polynom bilden und daruas die Eigenwerte ermitteln [mm] (\lambda [/mm] oder x, wie es halt genannt wird.)

In dem Fall muss ja F eine Matrix sein. Aber wie nun weiter, das weiß ich nicht.

Könnt ihr mir Tipps geben?
ich weiß auch nicht genau wie ich hier bijektivität nachweisen oder widerlegen kann.


Wäre nett wenn ihr mir die Aufgabe erklären könnt bzw Tipps zum Verständnis gebt.

MfG
Mathegirl

        
Bezug
Eigenwerte und Bijektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Mo 12.03.2012
Autor: fred97


> a) hat F den Eigenwert -2, so ist [mm]F^2+2F[/mm] nicht bijektiv.
>  b) hat [mm]F^2+F[/mm] den Eigenwert -1, so hat [mm]F^3[/mm] den Eigenwert
> 1.
>  Ich bin gerade am Lernen für die Klausur und da ist mir
> diese Aufgabe zugefallen.
>  
> Ich weiß aber nicht wie ich a) und b) zeigen kann.

Zu a)

Es gibt eine x [mm] \ne [/mm] 0 mit Fx=-2x, also ist F^2x=4x (warum ?)

Nun zeige, dass [mm] (F^2+2F)x=0 [/mm] ist, F ist also nicht injektiv.

Zu b)

Es gibt ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit:  $( [mm] F^2+F)x=-x [/mm] $, also $F^2x=-Fx-x.$

Berechne  damit $F^3x$

FRED

>  
> Wie man Eigenwerte berechnet ist mir klar:
> charaktereistisches Polynom bilden und daruas die
> Eigenwerte ermitteln [mm](\lambda[/mm] oder x, wie es halt genannt
> wird.)
>
> In dem Fall muss ja F eine Matrix sein. Aber wie nun
> weiter, das weiß ich nicht.
>
> Könnt ihr mir Tipps geben?
> ich weiß auch nicht genau wie ich hier bijektivität
> nachweisen oder widerlegen kann.
>  
>
> Wäre nett wenn ihr mir die Aufgabe erklären könnt bzw
> Tipps zum Verständnis gebt.
>  
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte und Bijektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Mo 12.03.2012
Autor: Mathegirl

Wie komme ich darauf? Das verstehe ich nicht.

a)
Fx=-2x
[mm] F^{2}x=4x [/mm] (da [mm] (-2)^2=4 [/mm]

Nun muss ich zeigen
[mm] F^{2}x+2Fx=0 [/mm]

Da [mm] F^{2}=4x [/mm] und Fx=-4x muss gelten:

4x-4x=0 damit ist gezeigt, dass F nicht injektiv ist. Gilt Injektivität nicht, so ist auch Bijektivität ausgeschlossen.

(alelrdings hab ich nicht verstanden wieso man auf diese weise Injektivität widerlegt bzw wie Injektivität hier gezeigt wird.)

b)
[mm] F^{2}x+Fx=-x [/mm]
[mm] F^{2}x=-Fx-x [/mm]
[mm] Fx=-F^{2}x-x [/mm]

also ist [mm] F^{3}x= [/mm] F{2}x*Fx ?
also [mm] (-Fx-x)*(-F^{2}x-x)=1 [/mm]

Aber da bekomme ich nicht 1 raus! Wo liegt mein Fehler?

MfG
Mathegirl

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und Bijektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Mo 12.03.2012
Autor: fred97


> Wie komme ich darauf? Das verstehe ich nicht.
>  
> a)
>  Fx=-2x
>  [mm]F^{2}x=4x[/mm] (da [mm](-2)^2=4[/mm]
>  
> Nun muss ich zeigen
> [mm]F^{2}x+2Fx=0[/mm]
>  
> Da [mm]F^{2}=4x[/mm] und Fx=-4x muss gelten:

Nein, es ist Fx=-2x, also 2Fx=-4x


>  
> 4x-4x=0 damit ist gezeigt, dass F nicht injektiv ist. Gilt
> Injektivität nicht, so ist auch Bijektivität
> ausgeschlossen.
>  
> (alelrdings hab ich nicht verstanden wieso man auf diese
> weise Injektivität widerlegt bzw wie Injektivität hier
> gezeigt wird.)

Es ist doch x [mm] \ne [/mm] 0, aber

             [mm] (F^2+2F)x=0=(F^2+2F)0. [/mm]

Kann  nun [mm] F^2+2F [/mm] injektiv sein ?

>  
> b)
> [mm]F^{2}x+Fx=-x[/mm]
>  [mm]F^{2}x=-Fx-x[/mm]
>  [mm]Fx=-F^{2}x-x[/mm]
>  
> also ist [mm]F^{3}x=[/mm] F{2}x*Fx ?


Das ist ja grausam !!  Es ist $F^3x=F(F^2x)$


>  also [mm](-Fx-x)*(-F^{2}x-x)=1[/mm]

Das ist ja noch grausamer !!  Was multiplizierst Du das ? F ist eine lineare Abbildung, dann bedeuten [mm] F^2, F^3,.... [/mm]  Hintereinanderausführungen (Verkettungen)

>
> Aber da bekomme ich nicht 1 raus!



Es wird immer grausamer !!


Ich bekomme auch nicht 1 heraus. Zeigen sollst Du, dass 1 ein Eigenwert von [mm] F^3 [/mm] ist. Zeige also mit obigem x:

              $F^3x=x$

FRED

> Wo liegt mein Fehler?
>  
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und Bijektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mo 12.03.2012
Autor: Mathegirl

okay, bei a) das war ein Schreibfehler, da hab ich die 2 vor 2Fx=-4x vergessen. das mit der Injektivität ist mir nun klar. Wie würde ich hier Surjektivität zeigen? (nur aus Interesse, also wie setzt man da x?)

b)
Da steige ich gerade nicht durch. Erkläre mir das bitte nochmal.
[mm] F^{2}x+Fx=-x [/mm]
[mm] F^{3}x=x [/mm]

Vielleicht denke ich auch gerade einfach nur zu kompliziert..


MfG
Mathegirl

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und Bijektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mo 12.03.2012
Autor: fred97


> okay, bei a) das war ein Schreibfehler, da hab ich die 2
> vor 2Fx=-4x vergessen. das mit der Injektivität ist mir
> nun klar. Wie würde ich hier Surjektivität zeigen? (nur
> aus Interesse, also wie setzt man da x?)

Es gilt: ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V linear, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. f ist injektiv.

2. f ist surjektiv

3. f ist bijektiv.

Und jetzt erzähl mir nicht, dass Du das noch nie gesehen hast !  Alles folgt aus der Dimensionsformel

          dim V  = dim Kern(f)+ dim Bild (f).


>  
> b)
>  Da steige ich gerade nicht durch. Erkläre mir das bitte
> nochmal.
>  [mm]F^{2}x+Fx=-x[/mm]
>  [mm]F^{3}x=x[/mm]

          $ [mm] F^{2}x+Fx=-x \Rightarrow [/mm] F^2x= -Fx-x [mm] \Rightarrow [/mm] F^3x= F(F^2x)= F(-Fx-x)=-F^2x-Fx=-( -Fx-x)-Fx=x$

>  
> Vielleicht denke ich auch gerade einfach nur zu
> kompliziert..

......  natürlich, wie immer...

FRED

>  
>
> MfG
>  Mathegirl


Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte und Bijektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mo 12.03.2012
Autor: Mathegirl

Danke fürs erklären Fred!
Ich hatte es nicht verstanden wie man das zeigt aber jetzt ist es mir klar! Vielen Dank!

MfG
Mathegirl

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]