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Eindimensionales RW-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 So 29.10.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
Betrachte das eindimensionale Randwertproblem

-(k [mm] u_{x} )_{x} [/mm] = 1 in (-1,1)

mit unstetigem Parameter

k(x) = 2 + sign(x)

Zeigen Sie, dass das Problem eine eindeutige, stückweise glatte Lösung u ∈ C [0,1] besitzt, aber u [mm] \not\in C^{2}(−1,1) \cap [/mm] C[−1,1], also keine klassische Lösung, ist.
Skizzieren Sie die Lösung!
Hinweis:  Man berechne auf jeder Hälfte die allgemeine Lösung der DGL. Die vier freien Parameter lassen sich dann durch die zwei Randbedingungen und die zwei Übergangsbedingungen [mm] u(0^{-}) [/mm] = [mm] u(0^{+}), (ku_{x})(0^{-}) [/mm] = [mm] (ku_{x})(0^{+}) [/mm] festlegen.

Also mir ist nicht ganz klar wie man hier zunächst auf eine Algemeine Lösung kommen soll welche [mm] C^{1} [/mm] ist aber nicht [mm] C^{2}. [/mm] Denn ich habe in meiner primitiven Ingeneursmathe gelernt dass man bei zweifacher Ableitung eingetlich eine Quadratische Funktion braucht.

        
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:02 Mo 30.10.2017
Autor: fred97


> Betrachte das eindimensionale Randwertproblem
>  
> -(k [mm]u_{x} )_{x}[/mm] = 1 in (-1,1)

Merkwürdig ....

u ist eine Funktion von einer Variablen, warum schreibt der Aufgabensteller [mm] u_x [/mm] und nicht u'.  Warum schreibt er [mm] (ku_x)_x [/mm] und nicht (ku')' ?


>
> mit unstetigem Parameter
>  
> k(x) = 2 + sign(x)
>  
> Zeigen Sie, dass das Problem eine eindeutige, stückweise
> glatte Lösung u ∈ C [0,1] besitzt, aber u [mm]\not\in C^{2}(−1,1) \cap[/mm]
> C[−1,1],

Hast Du Dich da verschrieben ?



> also keine klassische Lösung, ist.
>  Skizzieren Sie die Lösung!
>  Hinweis:  Man berechne auf jeder Hälfte die allgemeine
> Lösung der DGL. Die vier freien Parameter lassen sich dann
> durch die zwei Randbedingungen und die zwei
> Übergangsbedingungen [mm]u(0^{-})[/mm] = [mm]u(0^{+}), (ku_{x})(0^{-})[/mm]
> = [mm](ku_{x})(0^{+})[/mm] festlegen.
>  Also mir ist nicht ganz klar wie man hier zunächst auf
> eine Algemeine Lösung kommen soll welche [mm]C^{1}[/mm] ist aber
> nicht [mm]C^{2}.[/mm] Denn ich habe in meiner primitiven
> Ingeneursmathe gelernt dass man bei zweifacher Ableitung
> eingetlich eine Quadratische Funktion braucht.

Für x>0: es ist k(x)=3. Dann folgt aus [mm] -(3u_x)_x=1: [/mm]

   [mm] -3u_x=x+c_1. [/mm]

Dann folgt [mm] -3u=\frac{1}{2}x^2+c_1x+c_2. [/mm]


Für x<0: es ist k(x)=1. Dann folgt aus [mm] -(u_x)_x=1: [/mm]

   [mm] -u_x=x+c_3. [/mm]

Dann folgt [mm] -u=\frac{1}{2}x^2+c_3x+c_4. [/mm]


Hilft das weiter ?

Bezug
                
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Mo 30.10.2017
Autor: sanadros


> > Betrachte das eindimensionale Randwertproblem
>  >  
> > -(k [mm]u_{x} )_{x}[/mm] = 1 in (-1,1)
>
> Merkwürdig ....
>
> u ist eine Funktion von einer Variablen, warum schreibt der
> Aufgabensteller [mm]u_x[/mm] und nicht u'.  Warum schreibt er
> [mm](ku_x)_x[/mm] und nicht (ku')' ?

Zum Schreibstiel: Eigentlich ist das eine Numerik PDGLn Veranstallung daher [mm] u_{x} [/mm] aber weil es 1D ist wird das ja dann zu einer Normalen DGL.

> >
> > mit unstetigem Parameter
>  >  
> > k(x) = 2 + sign(x)
>  >  
> > Zeigen Sie, dass das Problem eine eindeutige, stückweise
> > glatte Lösung u ∈ C [0,1] besitzt, aber u [mm]\not\in C^{2}(−1,1) \cap[/mm]
> > C[−1,1],
>
> Hast Du Dich da verschrieben ?
>  

Zum Verschreiben: Nein ich habe mich nicht verschrieben. Steht so in der Aufgabenstellung. Sah für mich auch ein bisschen ungewohnt aus. Daher wollte ich fragen was dir Ungewöhnlich vorkommt.

> > also keine klassische Lösung, ist.
>  >  Skizzieren Sie die Lösung!
>  >  Hinweis:  Man berechne auf jeder Hälfte die allgemeine
> > Lösung der DGL. Die vier freien Parameter lassen sich dann
> > durch die zwei Randbedingungen und die zwei
> > Übergangsbedingungen [mm]u(0^{-})[/mm] = [mm]u(0^{+}), (ku_{x})(0^{-})[/mm]
> > = [mm](ku_{x})(0^{+})[/mm] festlegen.
>  >  Also mir ist nicht ganz klar wie man hier zunächst auf
> > eine Algemeine Lösung kommen soll welche [mm]C^{1}[/mm] ist aber
> > nicht [mm]C^{2}.[/mm] Denn ich habe in meiner primitiven
> > Ingeneursmathe gelernt dass man bei zweifacher Ableitung
> > eingetlich eine Quadratische Funktion braucht.
>
> Für x>0: es ist k(x)=3. Dann folgt aus [mm]-(3u_x)_x=1:[/mm]
>
> [mm]-3u_x=x+c_1.[/mm]
>  
> Dann folgt [mm]-3u=\frac{1}{2}x^2+c_1x+c_2.[/mm]
>  
>
> Für x<0: es ist k(x)=1. Dann folgt aus [mm]-(u_x)_x=1:[/mm]
>
> [mm]-u_x=x+c_3.[/mm]
>  
> Dann folgt [mm]-u=\frac{1}{2}x^2+c_3x+c_4.[/mm]
>  
>
> Hilft das weiter ?

Ob das weiterhilft muss ich mir mal morgen genau anschauen wenn ich wieder fit bin. Aber schon mal vielen Dank für die Hilfe.


Bezug
                        
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mi 01.11.2017
Autor: fred97


> > > Betrachte das eindimensionale Randwertproblem
>  >  >  
> > > -(k [mm]u_{x} )_{x}[/mm] = 1 in (-1,1)
> >
> > Merkwürdig ....
> >
> > u ist eine Funktion von einer Variablen, warum schreibt der
> > Aufgabensteller [mm]u_x[/mm] und nicht u'.  Warum schreibt er
> > [mm](ku_x)_x[/mm] und nicht (ku')' ?
>  
> Zum Schreibstiel: Eigentlich ist das eine Numerik PDGLn
> Veranstallung daher [mm]u_{x}[/mm] aber weil es 1D ist wird das ja
> dann zu einer Normalen DGL.
>  > >

> > > mit unstetigem Parameter
>  >  >  
> > > k(x) = 2 + sign(x)
>  >  >  
> > > Zeigen Sie, dass das Problem eine eindeutige, stückweise
> > > glatte Lösung u ∈ C [0,1] besitzt, aber u [mm]\not\in C^{2}(−1,1) \cap[/mm]
> > > C[−1,1],
> >
> > Hast Du Dich da verschrieben ?
>  >  
>
> Zum Verschreiben: Nein ich habe mich nicht verschrieben.
> Steht so in der Aufgabenstellung. Sah für mich auch ein
> bisschen ungewohnt aus. Daher wollte ich fragen was dir
> Ungewöhnlich vorkommt.

Ich könnte mir vorstellen, dass gemeint ist:

u [mm] \not\in C^{2}(−1,1) [/mm] , aber u [mm] \in [/mm] C[-1,1]


>  > > also keine klassische Lösung, ist.

>  >  >  Skizzieren Sie die Lösung!
>  >  >  Hinweis:  Man berechne auf jeder Hälfte die
> allgemeine
> > > Lösung der DGL. Die vier freien Parameter lassen sich dann
> > > durch die zwei Randbedingungen und die zwei
> > > Übergangsbedingungen [mm]u(0^{-})[/mm] = [mm]u(0^{+}), (ku_{x})(0^{-})[/mm]
> > > = [mm](ku_{x})(0^{+})[/mm] festlegen.
>  >  >  Also mir ist nicht ganz klar wie man hier zunächst
> auf
> > > eine Algemeine Lösung kommen soll welche [mm]C^{1}[/mm] ist aber
> > > nicht [mm]C^{2}.[/mm] Denn ich habe in meiner primitiven
> > > Ingeneursmathe gelernt dass man bei zweifacher Ableitung
> > > eingetlich eine Quadratische Funktion braucht.
> >
> > Für x>0: es ist k(x)=3. Dann folgt aus [mm]-(3u_x)_x=1:[/mm]
> >
> > [mm]-3u_x=x+c_1.[/mm]
>  >  
> > Dann folgt [mm]-3u=\frac{1}{2}x^2+c_1x+c_2.[/mm]
>  >  
> >
> > Für x<0: es ist k(x)=1. Dann folgt aus [mm]-(u_x)_x=1:[/mm]
> >
> > [mm]-u_x=x+c_3.[/mm]
>  >  
> > Dann folgt [mm]-u=\frac{1}{2}x^2+c_3x+c_4.[/mm]
>  >  
> >
> > Hilft das weiter ?
>
> Ob das weiterhilft muss ich mir mal morgen genau anschauen
> wenn ich wieder fit bin. Aber schon mal vielen Dank für
> die Hilfe.
>  


Bezug
                
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Di 31.10.2017
Autor: sanadros

Also ich habe das versucht zu lösen aber ich komme da auf komische Erbebnisse: Wenn ich die u(0^+)=u(0^-) Bedingung verweden komme ich auf [mm] C_2 [/mm] = [mm] -3C_4 [/mm] . Dann verwende ich die  ku(0^+)=ku(0^-) Bedingung und komme auf [mm] C_3=-C_1 [/mm] . Bei der RB für u(-1)=0 komme ich auf [mm] C_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] C_4 [/mm] und dann noch die u(-1)=0 verwednet komme ich auf [mm] C_1 [/mm] = -1 - [mm] C_2 [/mm] .

Dann komme ich aber auf [mm] C_1 [/mm] = - [mm] \frac{5}{12}, C_3 [/mm] = [mm] \frac{5}{12}, C_4 [/mm] = [mm] \frac{17}{36} [/mm] und [mm] C_2 [/mm] = [mm] \frac{17}{12}. [/mm] Aber irgend wo muss ich da ein Fehler haben. Nur kann ich den nicht finden.

Bezug
                        
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Mi 01.11.2017
Autor: fred97


> Also ich habe das versucht zu lösen aber ich komme da auf
> komische Erbebnisse: Wenn ich die u(0^+)=u(0^-) Bedingung
> verweden komme ich auf [mm]C_2[/mm] = [mm]-3C_4[/mm] . Dann verwende ich die  
> ku(0^+)=ku(0^-) Bedingung und komme auf [mm]C_3=-C_1[/mm] . Bei der
> RB für u(-1)=0 komme ich auf [mm]C_2[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] + [mm]C_4[/mm] und
> dann noch die u(-1)=0

Das ist die gleiche RB wie oben !

> verwednet komme ich auf [mm]C_1[/mm] = -1 -
> [mm]C_2[/mm] .
>  
> Dann komme ich aber auf [mm]C_1[/mm] = - [mm]\frac{5}{12}, C_3[/mm] =
> [mm]\frac{5}{12}, C_4[/mm] = [mm]\frac{17}{36}[/mm] und [mm]C_2[/mm] = [mm]\frac{17}{12}.[/mm]
> Aber irgend wo muss ich da ein Fehler haben. Nur kann ich
> den nicht finden.

Da Du in Deinem Eingangspost die beiden Randbedingungen völlig unterschlagen hast und oben mindestens eine der Randbedingungen von Dir falsch genannt wurde, fange ich erst an mit der Nachrechnerei, wenn Du beide Randbedingungen vollständig und richtig genannt hast.


Bezug
                        
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:25 Mi 01.11.2017
Autor: sanadros

KORIGENDA:

Also ich habe das versucht zu lösen aber ich komme da auf
komische Erlebnisse: Wenn ich die u(0^+)=u(0^-) Bedingung
verwenden komme ich auf [mm]C_2[/mm] = [mm]-3C_4[/mm] . Dann verwende ich die  
ku(0^+)=ku(0^-) Bedingung und komme auf [mm]C_3=-C_1[/mm] . Bei der  RB für u(-1)=0 komme ich auf [mm]C_2[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] + [mm]C_4[/mm] und
dann noch die u(1)=0 verwendet komme ich auf [mm]C_1[/mm] = -1 -
[mm]C_2[/mm] .
  
Dann komme ich aber auf [mm]C_1[/mm] = - [mm]\frac{5}{12}, C_3[/mm] =
[mm]\frac{5}{12}, C_4[/mm] = [mm]\frac{17}{36}[/mm] und [mm]C_2[/mm] = [mm]\frac{17}{12}.[/mm]
Aber irgend wo muss ich da ein Fehler haben. Nur kann ich
den nicht finden.


Bezug
                                
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Fr 03.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:48 Do 02.11.2017
Autor: sanadros

Also ich habe mein Fehler gefunden werde aber euch die Lösung ein bisschen später sagen.

Bezug
                        
Bezug
Eindimensionales RW-Problem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:27 Sa 04.11.2017
Autor: sanadros

Also eigentlich wollte ich meine Lösung hier ja noch posten allerdings habe ich immer noch ein Fehler. Daher habe ich sie mal nicht geposted.

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