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Einschließung zw. Treppenfunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mi 05.04.2017
Autor: X3nion

Guten Abend! :-)

Ich verstehe nicht richtig, wieso eine Funktion f: [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] genau dann Riemann-integrierbar ist. wenn zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 Treppenfunktionen [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] existieren mit

[mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}\psi(x)dx [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon. [/mm]

Im Forster steht, dass dies unmittelbar aus der Definition von inf und sup folgt.
Ich weiß aber nicht, worauf ich diese Definition anwenden soll.

Könnt ihr mir helfen, den Punkt zu verstehen? :-)


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Einschließung zw. Treppenfunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Mi 05.04.2017
Autor: leduart

Hallo
es bedeutet doch einfach dass sich Ober und Unterintegral beliebig wenig unterscheiden, da ja die eine immer [mm] \ge [/mm] f und die andere immer [mm] \le [/mm] f ist nähert sich das inf immer mehr dem sup
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Einschließung zw. Treppenfunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Do 06.04.2017
Autor: X3nion

Hi ledum und Danke!

Wie würde man dies dann mathematisch korrekt aufschreiben?

Eine Funktion f: [a,b] $ [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ ist genau dann Riemann-integrierbar ist. wenn zu jedem $ [mm] \epsilon [/mm] $ > 0 Treppenfunktionen $ [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] $ existieren mit

$ [mm] \phi \le [/mm] $ f $ [mm] \le \psi [/mm] $ und

$ [mm] \integral_{a}^{b}\psi(x)dx [/mm] $ - $ [mm] \integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon. [/mm] $

ist äquivalent mit der Aussage:


[mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\} [/mm] = [mm] sup\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} [/mm]

und deshalb [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx}, [/mm] was mit der Definition einer Riemann-integrierbaren Funktion übereinstimmt?

Gruß X3nion

Bezug
                        
Bezug
Einschließung zw. Treppenfunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 06.04.2017
Autor: tobit09

Hallo X3nion!


> Wie würde man dies dann mathematisch korrekt
> aufschreiben?

Sei

     [mm] $N:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\}$ [/mm]

und

     [mm] $M:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}$. [/mm]


Sei nun zunächst f Riemann-integrierbar.
Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existieren Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und

     [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]

Sei also [mm] $\epsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben.

Wegen [mm] $\int_a^b_\*f=\sup [/mm] M$ existiert ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit [mm] $\int_a^b_\*f-m<\frac\epsilon2$. [/mm]
Wegen [mm] $\int_a^b^\*f=\inf [/mm] N$ existiert ein [mm] $n\in [/mm] N$ mit [mm] $n-\int_a^b^\*f<\frac\epsilon2$. [/mm]

Wegen [mm] $m\in [/mm] M$ gibt es ein [mm] $\phi\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\phi\le [/mm] f$ und [mm] $\int_a^b\phi=m$. [/mm]
Wegen [mm] $n\in [/mm] N$ gibt es ein [mm] $\psi\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\psi\ge [/mm] f$ und [mm] $\int_a^b\psi=n$. [/mm]

Es folgt wie gewünscht

     [mm] $\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon$. [/mm]


Gebe es umgekehrt zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und

     [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]

Zu zeigen ist die Riemann-Integrierbarkeit von f.

Dazu genügt es, [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$ [/mm] zu zeigen.
Dafür wiederum genügt es, [mm] $\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] zu zeigen.

Sei also [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben..

Wir wählen Funktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und

     [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]

Es folgt wie gewünscht:

      [mm] $\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\int_a^b\psi-\int_a^b\phi\le\epsilon$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Einschließung zw. Treppenfunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias,

habe vielen Dank für deinen ausführlichen Beweis!




> Hallo X3nion!
>  
>
> > Wie würde man dies dann mathematisch korrekt
> > aufschreiben?
>  Sei
>  
> [mm]N:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \ge f}\}[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]M:=\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}[/mm].
>  
>
> Sei nun zunächst f Riemann-integrierbar.
>  Zu zeigen ist: Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existieren

> Treppenfunktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f
> [mm]\le \psi[/mm] und
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
>  
> Sei also [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben.
>  
> Wegen [mm]\int_a^b_\*f=\sup M[/mm] existiert ein [mm]m\in M[/mm] mit
> [mm]\int_a^b_\*f-m<\frac\epsilon2[/mm].
>  Wegen [mm]\int_a^b^\*f=\inf N[/mm] existiert ein [mm]n\in N[/mm] mit
> [mm]n-\int_a^b^\*f<\frac\epsilon2[/mm].
>  
> Wegen [mm]m\in M[/mm] gibt es ein [mm]\phi\in\tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi\le f[/mm] und
> [mm]\int_a^b\phi=m[/mm].
>  Wegen [mm]n\in N[/mm] gibt es ein [mm]\psi\in\tau[a,b][/mm] mit [mm]\psi\ge f[/mm]
> und [mm]\int_a^b\psi=n[/mm].
>  
> Es folgt wie gewünscht
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon[/mm].
>  
>
> Gebe es umgekehrt zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] Treppenfunktionen
> [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm] f [mm]\le \psi[/mm] und
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
>  
> Zu zeigen ist die Riemann-Integrierbarkeit von f.
>  
> Dazu genügt es, [mm]\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f[/mm] zu zeigen.
>  Dafür wiederum genügt es,
> [mm]\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\epsilon[/mm] für alle [mm]\epsilon>0[/mm]
> zu zeigen.
>  
> Sei also [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben..
>  
> Wir wählen Funktionen [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] mit [mm]\phi \le[/mm]
> f [mm]\le \psi[/mm] und
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx[/mm] - [mm]\integral_{a}^{b}\phi(x)dx \le \epsilon.[/mm]
>  
> Es folgt wie gewünscht:
>  
> [mm]\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le\int_a^b\psi-\int_a^b\phi\le\epsilon[/mm].
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias

1) Eine Frage zu folgendem Punkt:

$ [mm] \integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon [/mm] $.

Ist hier [mm] (n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2, [/mm] weil $ [mm] n-\int_a^b^{\*}f<\frac\epsilon2 [/mm] $.  und $ [mm] \int_a^b_{\*}f-m<\frac\epsilon2 [/mm] $.

und wegen der Riemann-Integrierbarkeit gilt [mm] \int_a^b^{\*}f [/mm] = [mm] \int_a^b_{\*} [/mm] und somit    [mm] \int_a^b^f [/mm] = [mm] \int_a^b_{\*}f [/mm] = [mm] \int_a^b^{\*}f? [/mm]

Also was ich damit sagen möchte: Kann man [mm] n-\int_a^b^{\*}f [/mm] wegen der Riemann-Integrierbarkeit auch schreiben als [mm] (n-\int_a^b [/mm] f) und analog [mm] \int_a^b_{\*}f-m [/mm] als [mm] ((\int_a^b [/mm] f)-m)?



2) Wieso genügt es im umgekehrten Fall, um die Riemann-Integrierbarkeit von f zu zeigen,

$ [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm] $ zu zeigen ?

Und müsste es wenn, dann nicht [mm] \int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f [/mm] lauten?
Denn im Forster steht als Bemerkung, dass stets [mm] \int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f [/mm] gilt



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
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Einschließung zw. Treppenfunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Fr 07.04.2017
Autor: tobit09


> 1) Eine Frage zu folgendem Punkt:
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon [/mm].
>
> Ist hier [mm](n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2,[/mm]
> weil [mm]n-\int_a^b^{\*}f<\frac\epsilon2 [/mm].  und
> [mm]\int_a^b_{\*}f-m<\frac\epsilon2 [/mm].
>
> und wegen der Riemann-Integrierbarkeit gilt [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm]
> = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] und somit    [mm]\int_a^b^f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] =
> [mm]\int_a^b^{\*}f?[/mm]

Genau.


> Also was ich damit sagen möchte: Kann man [mm]n-\int_a^b^{\*}f[/mm]
> wegen der Riemann-Integrierbarkeit auch schreiben als
> [mm](n-\int_a^b[/mm] f) und analog [mm]\int_a^b_{\*}f-m[/mm] als [mm]((\int_a^b[/mm]
> f)-m)?

Genau.


> 2) Wieso genügt es im umgekehrten Fall, um die
> Riemann-Integrierbarkeit von f zu zeigen,
>  
> [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm] zu zeigen ?
>  
> Und müsste es wenn, dann nicht [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm]
> lauten?
>  Denn im Forster steht als Bemerkung, dass stets
> [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm] gilt

Die zu zeigende Riemann-Integrierbarkeit von f bedeutet: [mm] $\int_a^b_\*f=\int_a^b^\*f$. [/mm]

Zum Nachweis genügt es, die beiden Ungleichungen

(i)      [mm] $\int_a^b_\*f\le\int_a^b^\*f$ [/mm]

und

(ii)      [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$ [/mm]

zu zeigen.

Da (i) gemäß Forsters Bemerkung ohnehin stets (d.h. für jede beschränkte Funktion [mm] $f\colon[a,b]\to\IR$) [/mm] gilt, bleibt nur noch (ii) zu zeigen.

Zu zeigen ist also tatsächlich (ii) und nicht (i).

Bezug
                                                
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Einschließung zw. Treppenfunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias


> > 1) Eine Frage zu folgendem Punkt:
>  >  
> >
> [mm]\integral_{a}^{b}\psi(x)dx-\integral_{a}^{b}\phi(x)dx=n-m=(n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2=\epsilon [/mm].
> >
> > Ist hier [mm](n-\int_a^b f)+((\int_a^b f)-m)<\frac\epsilon2+\frac\epsilon2,[/mm]
> > weil [mm]n-\int_a^b^{\*}f<\frac\epsilon2 [/mm].  und
> > [mm]\int_a^b_{\*}f-m<\frac\epsilon2 [/mm].
> >
> > und wegen der Riemann-Integrierbarkeit gilt [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm]
> > = [mm]\int_a^b_{\*}[/mm] und somit    [mm]\int_a^b^f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] =
> > [mm]\int_a^b^{\*}f?[/mm]
>  Genau.
>  
>
> > Also was ich damit sagen möchte: Kann man [mm]n-\int_a^b^{\*}f[/mm]
> > wegen der Riemann-Integrierbarkeit auch schreiben als
> > [mm](n-\int_a^b[/mm] f) und analog [mm]\int_a^b_{\*}f-m[/mm] als [mm]((\int_a^b[/mm]
> > f)-m)?
>  Genau.
>  
>
> > 2) Wieso genügt es im umgekehrten Fall, um die
> > Riemann-Integrierbarkeit von f zu zeigen,
>  >  
> > [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm] zu zeigen ?
>  >  
> > Und müsste es wenn, dann nicht [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm]
> > lauten?
>  >  Denn im Forster steht als Bemerkung, dass stets
> > [mm]\int_a^b_{\*}f \le \int_a^b^{\*}f[/mm] gilt
>  Die zu zeigende Riemann-Integrierbarkeit von f bedeutet:
> [mm]\int_a^b_\*f=\int_a^b^\*f[/mm].
>  
> Zum Nachweis genügt es, die beiden Ungleichungen
>  
> (i)      [mm]\int_a^b_\*f\le\int_a^b^\*f[/mm]
>  
> und
>  
> (ii)      [mm]\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f[/mm]
>  
> zu zeigen.
>  
> Da (i) gemäß Forsters Bemerkung ohnehin stets (d.h. für
> jede beschränkte Funktion [mm]f\colon[a,b]\to\IR[/mm]) gilt, bleibt
> nur noch (ii) zu zeigen.
>  
> Zu zeigen ist also tatsächlich (ii) und nicht (i).


Okay dann muss ich aber noch kurz nachfragen:

wenn man (ii) zeigen möchte, also $ [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm] $

und du in deinem Beweis geschrieben hast, dass es dafür genügt, $ [mm] \int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon [/mm] $ für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ zu zeigen, wieso folgt dann daraus, dass [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm] ?

[mm] \int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon [/mm] für alle  [mm] \epsilon>0 [/mm] klingt nämlich für mich wie, dass daraus direkt [mm] \int_a^b^{\*}f [/mm] = [mm] \int_a^b_{\*}f [/mm] folgt und nicht die Aussage (ii) [mm] \int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f [/mm]

Könntest du mich da noch aufklären?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                        
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Einschließung zw. Treppenfunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Fr 07.04.2017
Autor: tobit09


> Okay dann muss ich aber noch kurz nachfragen:
>  
> wenn man (ii) zeigen möchte, also
> [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm]
>  
> und du in deinem Beweis geschrieben hast, dass es dafür
> genügt, [mm]\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon[/mm] für alle
> [mm]\epsilon>0[/mm] zu zeigen, wieso folgt dann daraus, dass
> [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm] ?

Jede reelle Zahl u mit [mm] $u\le \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] erfüllt automatisch [mm] $u\le [/mm] 0$. (Soll ich dies näher begründen?)

Angewandt auf [mm] $u:=\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f$ [/mm] erhalten wir [mm] $u\le [/mm] 0$, also

      [mm] $\int_a^b^\*f-\int_a^b_\*f\le [/mm] 0$.

Durch Addition von [mm] $\int_a^b_\*f$ [/mm] auf beiden Seiten bekommen wir wie gewünscht

      [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$. [/mm]


> [mm]\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon[/mm] für alle  
> [mm]\epsilon>0[/mm] klingt nämlich für mich wie, dass daraus
> direkt [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] folgt und nicht die
> Aussage (ii) [mm]\int_a^b^{\*}f\le\int_a^b_{\*}f[/mm]

Mit welcher Begründung kannst du von [mm]\int_a^b^{\*}f-\int_a^b_{\*}f\le\epsilon[/mm] für alle  [mm]\epsilon>0[/mm] direkt auf [mm]\int_a^b^{\*}f[/mm] = [mm]\int_a^b_{\*}f[/mm] schließen?
Ich sehe keinen günstigeren Weg als über die Ungleichung [mm] $\int_a^b^\*f\le\int_a^b_\*f$. [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Einschließung zw. Treppenfunkt: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion

Dankeschön, auch dies macht mir nun Sinn! :-)

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                
Bezug
Einschließung zw. Treppenfunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Do 06.04.2017
Autor: tobit09

Hallo leduart!

> da ja die eine immer [mm]\ge[/mm] f
> und die andere immer [mm]\le[/mm] f ist nähert sich das inf immer
> mehr dem sup

Das inf nähert sich dem sup? Was soll das bedeuten? Das inf und das sup sind beides feste reelle Zahlen.

Viele Grüße
Tobias


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