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Endstellenregel, Teilbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 27.11.2013
Autor: rollroll

Aufgabe
Es sei n [mm] \in [/mm] IN eine Zahl, die zu einer Basis b dargestellt ist.
n= [mm] a_{k-1}b^{k-1}+...+a_0b^0 [/mm]
Dann gilt für jeden Teiler t von b: t teilt n [mm] \gdw [/mm] t teilt [mm] a_0. [/mm]
Gesucht ist der Beweis für die Aussage.

Hallo:

Also ich habe einen Beweis dazu im Buch stehen, verstehe ich aber leider nicht ganz:

Es gilt: [mm] n-a_0=a_{k-1}b^{k-1}+...+a_1b^1 [/mm]
Da t ein Teiler von b ist, teilt t auch [mm] n-a_0. [/mm] Es folgt die Behauptung.

1. Könnt ihr mir etwas ausführlicher erklären, warum das so ist?
2. Warum folgt daraus schon die gesamte Äquivalenz?

Danke im Voraus!

        
Bezug
Endstellenregel, Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Mi 27.11.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Es sei n [mm]\in[/mm] IN eine Zahl, die zu einer Basis b dargestellt
> ist.
>  n= [mm]a_{k-1}b^{k-1}+...+a_0b^0[/mm]
>   Dann gilt für jeden Teiler t von b: t teilt n [mm]\gdw[/mm] t
> teilt [mm]a_0.[/mm]
>  Gesucht ist der Beweis für die Aussage.
>  Hallo:
>  
> Also ich habe einen Beweis dazu im Buch stehen, verstehe
> ich aber leider nicht ganz:
>  
> Es gilt: [mm]n-a_0=a_{k-1}b^{k-1}+...+a_1b^1[/mm]
>  Da t ein Teiler von b ist, teilt t auch [mm]n-a_0.[/mm] Es folgt
> die Behauptung.
>
> 1. Könnt ihr mir etwas ausführlicher erklären, warum das
> so ist?

es wird Dich sicher ärgern:

    [mm] $n-a_0=b*(a_1+a_2b+...+a_{k-1}b^{k-2})$ [/mm]

Der geklammerte Ausdruck rechts ist ja eine natürliche Zahl! Also wird die
rechte Seite von [mm] $b\,$ [/mm] geteilt und damit teilt [mm] $b\,$ [/mm] auch die linke Seite (da
rechte Seite=linke Seite).

>  2. Warum folgt daraus schon die gesamte Äquivalenz?

Naja, Du siehst doch jetzt: [mm] $b\,$ [/mm] teilt immer [mm] $(n-a_0)\,,$ [/mm] und wegen [mm] $t|b\,$ [/mm] folgt
dann auch, dass immer [mm] $t|(n-a_0)$ [/mm] gilt (wie gesagt, unter der Voraussetzung,
dass [mm] $t\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $b\,$ [/mm] ist!)

Die Aussage war: [mm] $t\,$ [/mm] teilt $n$ [mm] $\iff$ $t\,$ [/mm] teilt [mm] $a_0\,.$ [/mm]

Zu [mm] "$\Longrightarrow$": [/mm]
Es gelte [mm] $t|n\,,$ [/mm] also [mm] $n=k*t\,$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann gilt

    [mm] $(n-a_0)/t=n/t-a_0/t=k-a_0/t\,.$ [/mm]

Da [mm] $t|(n-a_0)\,,$ [/mm] ist aber [mm] $\tfrac{n-a_0}{t} \in \IN\,.$ [/mm] Also muss auch [mm] $\tfrac{a_0}{t} \in \IN$ [/mm] sein. Das bedeutet
aber nichts anderes als: ...?

Zu [mm] "$\Longleftarrow$": [/mm]
Es gelte [mm] $t|a_0\,,$... [/mm]
(Überlege Dir das, es sind die gleichen Argumente mit kleinen Rollentauschs!)

P.S. Beachte bitte, dass $p/q$ den Bruch [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] meint, während [mm] $p|q\,$ [/mm] für [mm] "$p\,$ [/mm] ist ein Teiler
von [mm] $q\,$" [/mm] bedeutet. Ich hätte vielleicht hier Brüche doch nicht mit / darstellen sollen...

Gruß,
  Marcel

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