matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikEreignisse mengentheoretisch
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Stochastik" - Ereignisse mengentheoretisch
Ereignisse mengentheoretisch < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ereignisse mengentheoretisch: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 So 23.10.2016
Autor: lisa2802

Aufgabe
Seien n,k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] A_1,...A_n [/mm] Ereignisse in einem Ereignisraum [mm] \Omega. [/mm] BEschreibe die folgenden Ereignisse mengentheoretisch :
a) Jedes der Ereignisse [mm] A_1,...,A_n [/mm] tritt ein.
b) Mindestens eines der Ereignisse tritt ein.
c)Keines der Ereignisse tritt ein.
d)Entweder [mm] A_1 [/mm] oder [mm] A_2 [/mm] tritt ein, aber nicht beides.
e)Genau k der Ereignisse treten ein.
f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein

Hallöchen,
ich bräuchte nochmak hilfe :) Könntet ihr bitte einmal drüber gucken und korrigieren und mir bitte Tipps geben?
a) [mm] \Omega [/mm]

b) mit dem Mindestens komme ich nicht zurecht

c) [mm] \emptyset [/mm]

d) [mm] A_1 \cup A_2 [/mm]

e) [mm] \Omega [/mm] \ [mm] (A_k+1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_n) [/mm]

f) MIt dem höchstens weiß ich auch nicht sorecht was ich machen soll. Heißt ja keins, eins oder zwei Ergebnisse treten ein.

Danke und schönen Abend noch :)

        
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 So 23.10.2016
Autor: hippias

Ersteinmal nur a)

Z.B. sei [mm] $\Omega= \{1,2,3,4,5,6\}$. [/mm] Es sei [mm] $A_{1}$: [/mm] "Die Zahl ist gerade" und [mm] $A_{2}$: [/mm] "Die Zahl ist grösser als $3$"

1. Gib [mm] $A_{1}$ [/mm] und [mm] $A_{2}$ [/mm] in Mengenschreibweise an.

2. Was bedeutet "jedes der Ereignisse [mm] $A_{1}$ [/mm] und [mm] $A_{2}$ [/mm] tritt ein" in Worten und in Mengeschreibweise?

3. Verallgemeinere dies auf Aufgabenteil a)


Bezug
                
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 So 23.10.2016
Autor: lisa2802


> Ersteinmal nur a)
>  
> Z.B. sei [mm]\Omega= \{1,2,3,4,5,6\}[/mm]. Es sei [mm]A_{1}[/mm]: "Die Zahl
> ist gerade" und [mm]A_{2}[/mm]: "Die Zahl ist grösser als [mm]3[/mm]"
>  
> 1. Gib [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] in Mengenschreibweise an.

[mm] A_1 =\{2,4,6\} [/mm] und [mm] A_2 [/mm] = [mm] \{4,5,6\} [/mm]

>
> 2. Was bedeutet "jedes der Ereignisse [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] tritt
> ein" in Worten und in Mengeschreibweise?

[mm] A_1\cap A_2 [/mm] = [mm] \{w \in \Omega : w \in A_1, w \in A_2\}= \{4,6\} [/mm] = alle gerade zahlen größer als 3

>  
> 3. Verallgemeinere dies auf Aufgabenteil a)

Klar dann werden nur die "gemeinsamen" Eigenschaften gesucht.
Da ich aber nichts genauerer über die Ereignisse weiß wäre die gesuchte Antwort

[mm] \{w \in \Omega : w \in A_1,..., w \in A_n\} [/mm] oder?

Ist das so korrekt??
Dank dir!!!

Bezug
                        
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 So 23.10.2016
Autor: hippias

Ja, das ist richtig; kürzer kann man schreiben [mm] $\cap_{k=1}^{n} A_{k}$. [/mm]

Um die richtige Lösung für b) zu finden kannst Du auch ersteinmal das Problem für das kleine Beispiel lösen.

Bezug
                                
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 So 23.10.2016
Autor: lisa2802

okay. Ich betrachte als wieder [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] und [mm] A_1 =\{2,4,6\}, A_2 =\{4,5,6\} [/mm]
jetzt tritt mind. eins der Ereignisse ein. Entweder nur [mm] A_1, [/mm] nur [mm] A_2 [/mm] oder aber auch beide. Für beide s.a)

[mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 \vee w \in A_2\} [/mm] wäre ja [mm] A_1 [/mm] oder [mm] A_2. [/mm] Aber die Möglichkeit [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] müsste ich ja mit einschliessen oder?
Sinn würde für mich machen [mm] A_1 [/mm] oder [mm] A_2 [/mm] verknüpfen  mit [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm]

[mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 \vee w \in A_2\} \cup \{w \in \Omega : w \in A_1,..., w \in A_n\} [/mm] müsste ja umgeformt das gleiche sein wie [mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 \vee w \in A_2\} [/mm] oder?

dementsprechend wäre die Lösung für mindestens ein ERgebnis tritt ein : [mm] \cup_{k=1}^{n} A_{k} [/mm] ?

Dank dir :)


c)Keines der Ereignisse tritt ein. Wäre ja [mm] (\cap_{k=1}^{n} A_{k})^c [/mm]
d)Entweder $ [mm] A_1 [/mm] $ oder $ [mm] A_2 [/mm] $ tritt ein, aber nicht beides.  [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] = [mm] \{w \in \Omega : w \in A_1 oder w \in A_2\} [/mm]
e)Genau k der Ereignisse treten ein. = [mm] (A_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_2 \cap (A_n)^c) [/mm]
f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein

Bezug
                                        
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:02 Mo 24.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> dementsprechend wäre die Lösung für mindestens ein
> ERgebnis tritt ein : [mm]\cup_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] ?

korrekt.
Schöner finde ich aber [mm] $\bigcup_{k=1}^n A_k$ [/mm] :-)

> c)Keines der Ereignisse tritt ein. Wäre ja [mm](\cap_{k=1}^{n} A_{k})^c[/mm]

Nein. Schreibe das doch mal für dein Beispiel auf. Also berechne in deinem Beispiel mal [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm]
Du wirst sehen, dass du einen (kleinen) Denkfehler hast.
"Kein Ereignis tritt ein" ist eben nicht identisch "Nicht alle Ereignisse treten (gleichzeitig) ein".

  

> d)Entweder [mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] tritt ein, aber nicht beides.  [mm]A_1 \cup A_2[/mm]
> = [mm]\{w \in \Omega : w \in A_1 oder w \in A_2\}[/mm]

Wo wäre hier der Unterschied zu [mm] "$A_1$ [/mm] oder [mm] $A_2$ [/mm] tritt ein"?
Nach deinem Aufschrieb gäbe es keinen Unterschied. Da fehlt also die "aber nicht beides"-Bedingung bei dir.

>  e)Genau k
> der Ereignisse treten ein. = [mm](A_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap A_2 \cap (A_n)^c)[/mm]

Nein, hier hast du ja identisch dasselbe aufgeschrieben wie bei c).
Beachte, dass [mm] $\bigcap_{k=1}^n A_k$ [/mm] nur eine Kurzschreibweise ist für [mm] $A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n$ [/mm]

> f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein

e und f machen wir mal, wenn du bis d) alle verstanden hast.

Gruß,
Gono


Bezug
                                                
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Mo 24.10.2016
Autor: lisa2802


> Hiho,
>  
> > dementsprechend wäre die Lösung für mindestens ein
> > ERgebnis tritt ein : [mm]\cup_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] ?
>  
> korrekt.
>  Schöner finde ich aber [mm]\bigcup_{k=1}^n A_k[/mm] :-)

Danke! :)

>  
> > c)Keines der Ereignisse tritt ein. Wäre ja [mm](\cap_{k=1}^{n} A_{k})^c[/mm]
>  
> Nein. Schreibe das doch mal für dein Beispiel auf. Also
> berechne in deinem Beispiel mal [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm]
>  
> Du wirst sehen, dass du einen (kleinen) Denkfehler hast.
> "Kein Ereignis tritt ein" ist eben nicht identisch "Nicht
> alle Ereignisse treten (gleichzeitig) ein".

naja A tritt ein. dann bedeutet [mm] A^c, [/mm] dass A nicht eintritt.
Zb keines der 3 ereignisse A,B,C tritt ein wäre ja [mm] A^c \cup B^c \cup C^c [/mm] = (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap C)^c [/mm] oder etwa nicht? deswegen hatte ich [mm] \left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c [/mm] gewählt.
ich wähle jetzt wieder [mm] \Omega \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] und [mm] A=\{2,4,6\} [/mm] und [mm] B=\{4,5,6\} [/mm]
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{4,6\} [/mm]  (A [mm] \cap [/mm] B [mm] )^c [/mm] = [mm] \{w \in \Omega : w \in A, w \in B\}^c [/mm] = [mm] \{4,6\}^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \{4,6\} [/mm] = [mm] \{1,2,3,5\} [/mm] damit wäre ja keins meiner ereignisse eingetreten?
Heißt hier wäre [mm] \left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \bigcap_{k=1}^{n} A_{k} [/mm] oder?

>  
>
> > d)Entweder [mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] tritt ein, aber nicht beides.  [mm]A_1 \cup A_2[/mm]
> > = [mm]\{w \in \Omega : w \in A_1 oder w \in A_2\}[/mm]
>  Wo wäre
> hier der Unterschied zu "[mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] tritt ein"?
>  Nach deinem Aufschrieb gäbe es keinen Unterschied. Da
> fehlt also die "aber nicht beides"-Bedingung bei dir.

Ah okay danke.
dann müsste ich ja eigengtlich [mm] (A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c [/mm] oder? damit nehme ich ja raus, dass [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] gleichzeitig war werden.

>  
> >  e)]Genau k

> > der Ereignisse treten ein. = [mm](A_1 \cap[/mm] ... [mm]\cap A_2 \cap (A_n)^c)[/mm > > Nein, hier hast du ja identisch dasselbe aufgeschrieben wie > bei c). > Beachte, dass [mm]\bigcap_{k=1}^n A_k[/mm] nur eine > Kurzschreibweise ist für [mm]A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n[/mm] da sollte statt A_2 A_k stehen. also A_1 bis A_k treten ein aber A_n nicht. deswegen (A_1 \cap[/mm] ... [mm][mm] \cap A_k \cap (A_n)^c) [/mm]
>  
> > f) Höchstens zwei der Ereignisse treten ein
> e und f machen wir mal, wenn du bis d) alle verstanden
> hast.
>  
> Gruß,
>  Gono
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mo 24.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Zb keines der 3 ereignisse A,B,C tritt ein wäre ja [mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm] = (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap C)^c[/mm] oder etwa nicht?cht!

etwa nicht!
[mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm] in Worten ist doch "A tritt nicht ein oder B tritt nicht ein oder C tritt nicht ein" bzw "Mindestens eines tritt nicht ein".
Du willst aber "Alle treten nicht ein" oder eben "A tritt nicht ein und B tritt nicht ein und C tritt nicht ein".
"Keins" ist also äquivalent zu "Alle nicht".


> [mm]\{4,6\}^c[/mm] = [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\{4,6\}[/mm] = [mm]\{1,2,3,5\}[/mm]

[ok]

> damit wäre ja keins meiner ereignisse eingetreten?

Dein Ereignis tritt doch ein, sobald ein Element davon eintritt.
Würfelst du nun bspw eine 2, dann ist [mm] $(A\cap B)^c$ [/mm] eingetreten, aber eben auch A!
Das soll aber nicht eintreten.

>  Heißt hier wäre [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm] =
> [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] oder?

Ja, das ist die Definition der Komplementbildung.

>  dann müsste ich ja eigengtlich [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm] oder? damit nehme ich ja raus, dass [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] gleichzeitig war werden.

[ok]
Und weil sich das so doof schreibt, gibt es dafür die Definition der []symmetrischen Differenz, die eine Kurzschreibweise dafür ist.
D.h. statt [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm] schreibt man einfach [mm] $A_1\triangle A_2$. [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Mo 24.10.2016
Autor: lisa2802


> Hiho,
>  
> > Zb keines der 3 ereignisse A,B,C tritt ein wäre ja [mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm]
> = (A [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap C)^c[/mm] oder etwa nicht?cht!
>  
> etwa nicht!
>  [mm]A^c \cup B^c \cup C^c[/mm] in Worten ist doch "A tritt nicht
> ein oder B tritt nicht ein oder C tritt nicht ein" bzw
> "Mindestens eines tritt nicht ein".
>  Du willst aber "Alle treten nicht ein" oder eben "A tritt
> nicht ein und B tritt nicht ein und C tritt nicht ein".
>  "Keins" ist also äquivalent zu "Alle nicht".
>  

Okay. Das macht Sinn! 😫
Aber dann müssten doch alle nicht [mm] A^c \cap B^c \cap C^c [/mm] sein oder??

>
> > [mm]\{4,6\}^c[/mm] = [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\{4,6\}[/mm] = [mm]\{1,2,3,5\}[/mm]
>  [ok]
>  
> > damit wäre ja keins meiner ereignisse eingetreten?
>  Dein Ereignis tritt doch ein, sobald ein Element davon
> eintritt.
>  Würfelst du nun bspw eine 2, dann ist [mm](A\cap B)^c[/mm]
> eingetreten, aber eben auch A!
>  Das soll aber nicht eintreten.
>  
> >  Heißt hier wäre [mm]\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right)^c[/mm] =

> > [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}[/mm] oder?
>  
> Ja, das ist die Definition der Komplementbildung.
>  
> >  dann müsste ich ja eigengtlich [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm]

> oder? damit nehme ich ja raus, dass [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm]
> gleichzeitig war werden.
>  [ok]
>  Und weil sich das so doof schreibt, gibt es dafür die
> Definition der
> []symmetrischen Differenz,
> die eine Kurzschreibweise dafür ist.
>  D.h. statt [mm](A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cap A_2)^c[/mm] schreibt
> man einfach [mm]A_1\triangle A_2[/mm].
>  

Dank dir!!!! 😊

> Gruß,
>  Gono

Bezug
                                                                        
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Mo 24.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Okay. Das macht Sinn! 😫
>  Aber dann müssten doch alle nicht [mm]A^c \cap B^c \cap C^c[/mm]
> sein oder??

korrekt. Oder anders geschrieben $(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c$. [/mm]
D.h. "keins" ist eben das Komplement von "mindestens eins".

Nun wag dich mal an e) und f)

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                                
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mi 26.10.2016
Autor: lisa2802

E) genau k der Ereignisse.
Bei meiner Methode hätte ich ja einfach die ersten k gewählt aber das muss ja für alle möglichen gelten.
Ich definiere mir eine Menge J [mm] \subset \{1,...,n\}mit [/mm] #J=k
[mm] \bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=k}(\bigcap_{j \in J} (A_j) \bigcap_{i \in \{1,...n\} \ J} (A_i)^c) [/mm]

F) G= höchstens zwei Ergebnisse treten ein.
Das Komplement dazu ist H=Mind 3 treten ein.
G= [mm] \Omega [/mm] \ H = [mm] \Omega [/mm] \ [mm] \bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=3} (\bigcap_{j \in J} (A_j) [/mm]

Stimmt das so? Hab da jetzt stundenlang drüber nachgedacht und rumgebastelt!

Ginge das auch einfacher?

Danke :)

Bezug
                                                                                        
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Do 27.10.2016
Autor: hippias

Das ist alles unsauber aufgeschrieben:

> E) genau k der Ereignisse.
> Bei meiner Methode hätte ich ja einfach die ersten k
> gewählt aber das muss ja für alle möglichen gelten.
>  Ich definiere mir eine Menge J [mm]\subset \{1,...,n\}mit[/mm] #J=k

Nein, nicht eine $k$-elementige Menge, sondern Du betrachtest alle $k$-elementigen Mengen

> [mm]\bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=k}(\bigcap_{j \in J} (A_j) \bigcap_{i \in \{1,...n\} \ J} (A_i)^c)[/mm]

Nein, schreibe so: [mm] $\bigcup_{J \subseteq \{1,..,n\}, |J|=k}\left(\bigcap_{j \in J} A_j \cap \bigcap_{i \in \{1,...n\} \backslash J} A_i^c\right) [/mm]

>  
> F) G= höchstens zwei Ergebnisse treten ein.
>  Das Komplement dazu ist H=Mind 3 treten ein.
>  G= [mm]\Omega[/mm] \ H = [mm]\Omega[/mm] \ [mm]\bigcup_{J \in \{1,..,n\}, |J|=3} (\bigcap_{j \in J} (A_j)[/mm]
>  

Nein, so: $ G= [mm] \Omega \backslash [/mm] H = [mm] \Omega \backslash \left(\bigcup_{J \subseteq \{1,..,n\}, |J|=3} \left(\bigcap_{j \in J} A_j\right)\right)$ [/mm]

> Stimmt das so? Hab da jetzt stundenlang drüber nachgedacht
> und rumgebastelt!

Was gibt es schöneres?!

>  
> Ginge das auch einfacher?
>  
> Danke :)


Bezug
                                                                                                
Bezug
Ereignisse mengentheoretisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:05 Fr 28.10.2016
Autor: lisa2802

Danke für deine Hilfe :)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]