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Ergebnisraum Würfel/Münze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Sa 11.02.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Wir werfen einmlaig einen fairern Würfel (1,...,6) und notieren das Ergebnis. Anschließend werfen wir eine faire Münzen ( Kopf und Zahl) so oft, wie das Ergebnis des Würfelwurfs angibt.
a) Gib einen Ergebnisraum [mm] \Omega [/mm] und einen Wahrscheinlichkeitsvektor p an, mit dem das Experiment beschrieben werden kann.
b) Sei X die Zufallsgröße, die angibt, wie oft Kopf geworfen worden ist. Bestimme P(X=5).
c)Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel eine 1 gezeigt hat, wenn bekannt ist, dass niemals bei einem Münzwurf K geworfen wurde.

Hallo ihr Lieben,

a)
ich würde [mm] \Omega [/mm] so definieren :

[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{w =(w_1,...,w_n) | w \in \{K,Z\}^n, n \in \{1,...,6\}\} [/mm]

n=1 : P(K)=P(Z) = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{12} [/mm]

n=2 [mm] P(KK)=...=P(ZZ)=\bruch{1}{6}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{6}*\bruch{1}{2^2} [/mm]
...


für  n [mm] \in [/mm] (1,2,...,6) gilt also [mm] P(w=(w_1,...,w_n))=\bruch{1}{6}*\bruch{1}{2^n} [/mm]

b) P(X=5)=P((KKKKK),(ZKKKKK),(KZKKKK),(KKZKKK),(KKKZKK),(KKKKZK),(KKKKKZ))  = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{2^5} [/mm] + 6* [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{2^6} =\bruch{1}{48} [/mm]


Wäre das so korrekt?


c)
[mm] A=\{w \in \Omega : w=w_1 \in \{K,Z\}, n=1\})=\{(K),(Z)\} [/mm]

[mm] B=\{ w \in \Omega : w \not= K\} [/mm] = [mm] \{ (Z),(ZZ),(ZZZ),(ZZZZ),(ZZZZZ),(ZZZZZ)\} [/mm]

gesucht P(A|B) [mm] =\bruch{P(A \cap B)}{P(B)} [/mm] = [mm] \bruch{P(\{(Z)\})}{P(\{ (Z),(ZZ),(ZZZ),(ZZZZ),(ZZZZZ),(ZZZZZ)\} )} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{12}}{\bruch{1}{12}+\bruch{1}{24}+\bruch{1}{48}+\bruch{1}{96}+\bruch{1}{192}+\bruch{1}{384}} [/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{12}}{\bruch{21}{128}}=\bruch{32}{62} [/mm]

Was sagt ihr dazu?

Vielen Dank und schönen Abend noch :)

        
Bezug
Ergebnisraum Würfel/Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 Sa 11.02.2017
Autor: HJKweseleit

b) und c) sind richtig, allerdings muss bei c) im Nenner 63 statt 62 stehen.
a) weiß ich nicht.

Bezug
        
Bezug
Ergebnisraum Würfel/Münze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 So 12.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

HJKweseleit hat es ja im Wesentlichen schon beantwortet… auch dein Modell ist ok. Ich würde das W-Maß allerdings etwas kürzer und knapper notieren. Es ist klar, was du meinst, allerdings kann man das schöner aufschreiben :-)

Schaffst du es denn dein W-Maß mit nur einer Zeile zu definieren, also in der Art:
[mm] $P(\{w\}) [/mm] = [mm] P(\{(w_1,\ldots,w_n)\}) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm]

Und als Fingerübung zeige mal, dass es sich wirklich zu 1 aufsummiert :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Ergebnisraum Würfel/Münze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 So 12.02.2017
Autor: Noya


> Hiho,
>  
> HJKweseleit hat es ja im Wesentlichen schon beantwortet…
> auch dein Modell ist ok. Ich würde das W-Maß allerdings
> etwas kürzer und knapper notieren. Es ist klar, was du
> meinst, allerdings kann man das schöner aufschreiben :-)
>  
> Schaffst du es denn dein W-Maß mit nur einer Zeile zu
> definieren, also in der Art:
>  [mm]P(\{w\}) = P(\{(w_1,\ldots,w_n)\}) = \ldots[/mm]
>  
> Und als Fingerübung zeige mal, dass es sich wirklich zu 1
> aufsummiert :-)
>  
> Gruß,
>  Gono

Guten Morgen :)
Und vielen Dank. Das oben mit der 62 war ein Tippfehler, den ich übersehen habe! Danke :)

wäre das nicht einfach [mm] P(w=(w_1,...,w_n))=\bruch{1}{6}\cdot{}\bruch{1}{2^n} [/mm] für n [mm] \in [/mm] (1,...,6) ? oder ist das nicht korrekt?

[mm] \sum^6_{n=1}\bruch{1}{6}\cdot{}\bruch{1}{2^n} [/mm] * [mm] 2^n [/mm] = 6 * [mm] \bruch{1}{6}=1 [/mm]

da für jedes n [mm] 2^n [/mm] Ereignisse gibt, also für n=1 2Ereignisse, ..., n=6 gibt es [mm] 2^6=64. [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Ergebnisraum Würfel/Münze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 So 12.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> wäre das nicht einfach
> [mm]P(w=(w_1,...,w_n))=\bruch{1}{6}\cdot{}\bruch{1}{2^n}[/mm] für n [mm]\in[/mm] (1,...,6) ? oder ist das nicht korrekt?

Warum nicht gleich so? :-)
Na stimmt das mit deinen Vorgaben überein? Oder nicht?
Wie war das mit den mathematischen Beweisen?


> da für jedes n [mm]2^n[/mm] Ereignisse gibt, also für n=1
> 2Ereignisse, ..., n=6 gibt es [mm]2^6=64.[/mm]

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Ergebnisraum Würfel/Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:42 So 12.02.2017
Autor: Noya

Hatte mich nur gewundert, weil ich das P so schon oben angegeben hatte und ich jetzt mal wieder total verunsichert war!!

Vielen Dank!

Bezug
                                        
Bezug
Ergebnisraum Würfel/Münze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:49 So 12.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

worauf ich aber eigentlich hinaus wollte, war eigentlich etwas anderes :-)

Und zwar gilt ja:

[mm] $\summe_{\omega\in\Omega}P(\{\omega\}) [/mm] = [mm] \summe_{n\in\IN}P(|\omega| [/mm] = n) [mm] \summe_{|\omega| = n} P(\{\omega\})$ [/mm]

In deinem Fall ist [mm] $P(|\omega| [/mm] = n) = [mm] \frac{1}{6}$ [/mm] für [mm] $n\in\{1,\ldots,6\}$ [/mm] und 0 für [mm] $n\ge [/mm] 7$.

Aber: Es könnte ja Experimente geben, wo das ganz anders ist, beispielsweise:

"Man würfelt so lange, bis eine 6 erscheint und wirft dann genauso oft eine Münze."

Dann wäre [mm] $P(|\omega| [/mm] = n)$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] echt positiv, dein Modell kann man immer noch verwenden nur mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] statt in $n [mm] \in \{1,\ldots,6\}$ [/mm] und sogar deine Wahrscheinlichkeiten wären fast identisch, nämlich:

[mm] $P(\{\omega\}) [/mm] = [mm] P(|\omega| [/mm] = n) * [mm] \frac{1}{2^n}$ [/mm]

Und du wirst in deiner Vorlesung sicherlich noch mal darüber stolpern, dass du ein Modell brauchst, wo dein $n$ nicht begrenzt ist. Aber das wirkt nur auf den ersten Blick viel schlimmer, ist es aber gar nicht :-)

Gruß,
Gono

Bezug
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